微分積分例

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ , $a = 1$

ステップ 1

$a$ で線形化を求めるために使用する関数を考えます。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

ステップ 2

$a = 1$ の値を線形化関数に代入します。

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

ステップ 3

$f (1)$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

ステップ 3.2

$(1) + \frac{1}{1}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

$(1) + \frac{1}{1}$

ステップ 3.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1 + 1$

ステップ 3.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$2$

ステップ 4

微分係数を求め、 $1$ で値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.1

微分します。

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ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - x^{- 2}$

ステップ 4.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.4

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

ステップ 4.2

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$- \frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{1} + 1$

ステップ 4.3.1.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{1} + 1$

ステップ 4.3.1.2.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 1$

ステップ 4.3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

成分を線形化関数に代入し、 $a$ における線形化を求めます。

$L (x) = 2 + 0 (x - 1)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$0$ に $x - 1$ をかけます。

$L (x) = 2 + 0$

ステップ 6.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$L (x) = 2$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例