微分積分例

$\sin (y) = x$ ; $(0, π)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = π$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (y) y'$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\cos (y) y' = 1$

ステップ 1.5

$\cos (y) y' = 1$ の各項を $\cos (y)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\cos (y) y' = 1$ の各項を $\cos (y)$ で割ります。

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{1}{\cos (y)}$

ステップ 1.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$\cos (y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{1}{\cos (y)}$

ステップ 1.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{\cos (y)}$

ステップ 1.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$\frac{1}{\cos (y)}$ を $\sec (y)$ に変換します。

$y' = \sec (y)$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \sec (y)$

ステップ 1.7

$y = π$ と $x = 0$ における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$\sec (y)$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $π$ で置換えます。

$\sec (π)$

ステップ 1.7.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \sec (0)$

ステップ 1.7.4

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 1.7.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $- 1$ と与えられた点 $(0, π)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (π) = - 1 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - π = - 1 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1 \cdot (x + 0)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - π = - 1 \cdot x$

ステップ 2.3.1.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y - π = - x$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $π$ を足します。

$y = - x + π$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例