微分積分例

$12 \cos^{3} (2 x)$

ステップ 1

$12 \cos^{3} (2 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 12 \cos^{3} (2 x) d x$

ステップ 4

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$12 \int \cos^{3} (2 x) d x$

ステップ 5

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$12 \int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6

$\cos^{3} (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$12 \int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$12 (\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $12$ をまとめます。

$\frac{12}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 8.2

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 8.2.2.4

$6$ を $1$ で割ります。

$6 \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9

$\cos^{2} (u_{1})$ を因数分解します。

$6 \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (u_{1})$ を $1 - \sin^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$6 \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11

$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$\sin (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

ステップ 11.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1})$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$6 \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 12

単一積分を複数積分に分割します。

$6 (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 13

定数の法則を当てはめます。

$6 (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 14

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$6 (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 15

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$6 (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

ステップ 16

簡約します。

$6 (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 17.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (u_{1})$ で置き換えます。

$6 (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

ステップ 17.2

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$6 (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

$\sin^{3} (2 x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$6 (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

ステップ 18.2

分配則を当てはめます。

$6 \sin (2 x) + 6 (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

ステップ 18.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.3.1

$- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 \sin (2 x) + 6 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

ステップ 18.3.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$6 \sin (2 x) + 3 (2) \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

ステップ 18.3.3

共通因数を約分します。

$6 \sin (2 x) + 3 \cdot 2 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

ステップ 18.3.4

式を書き換えます。

$6 \sin (2 x) + 2 (- \sin^{3} (2 x)) + C$

ステップ 18.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$

ステップ 19

答えは関数 $f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$

微分積分 例

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