微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x^{4})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

ステップ 1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.4

$4$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{4}} x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.5

$\frac{4}{x^{4}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.6

$x^{3}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x^{3}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.6.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.6.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{3 x^{2}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

ステップ 5

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{4}{x}$ に $\frac{1}{3 x^{2}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x (3 x^{2})}$

ステップ 5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 (x^{1} x^{2})}$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{1 + 2}}$

ステップ 5.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{3}}$

ステップ 6

$\frac{4}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{4}{3} \cdot 0$

ステップ 8

$\frac{4}{3}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

微分積分例