微分積分例

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{3 π}{x})$

ステップ 1

$x \sin (\frac{3 π}{x})$ を $\frac{\sin (\frac{3 π}{x})}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{3 π}{x})}{\frac{1}{x}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{3 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{3 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2.1.2

$3 π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (3 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sin (3 π \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$3 π \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 2.1.2.3.1.1

$0$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sin (0 π)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$0$ に $π$ をかけます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.1.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{3 π}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{3 π}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{3 π}{x}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{3 π}{x}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.3

$3 π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 π}{x}$ の微分係数は $3 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (3 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (3 π \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.5

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (3 π (- x^{- 2}))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.6

$- 1$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (- 3 π x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (- 3 π \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.7.2

項をまとめます。

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ステップ 2.3.7.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $- 3$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (\frac{- 3}{x^{2}} π)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.7.2.2

$\frac{- 3}{x^{2}}$ と $π$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) \frac{- 3 π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.7.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (- \frac{3 π}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.7.2.4

$\cos (\frac{3 π}{x})$ と $\frac{3 π}{x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (3 π)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.7.2.5

$3$ を $\cos (\frac{3 π}{x})$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{3 π}{x}) π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.7.3

$- \frac{3 \cos (\frac{3 π}{x}) π}{x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 2.3.8

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

ステップ 2.3.9

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

ステップ 2.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} - \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

ステップ 2.5

因数をまとめます。

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ステップ 2.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 2.5.2

$\frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 2.5.3

$\frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.6

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.6.2

$3 π \cos (\frac{3 π}{x})$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} 3 π \cos (\frac{3 π}{x})$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$3 π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 π lim_{x \to \infty} \cos (\frac{3 π}{x})$

ステップ 3.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$3 π \cos (lim_{x \to \infty} \frac{3 π}{x})$

ステップ 3.3

$3 π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 π \cos (3 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$3 π \cos (3 π \cdot 0)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$3 π \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1

$0$ に $3$ をかけます。

$3 π \cos (0 π)$

ステップ 5.1.2

$0$ に $π$ をかけます。

$3 π \cos (0)$

ステップ 5.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$3 π \cdot 1$

ステップ 5.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 π$

微分積分 例

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