微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (\sqrt{x}))}{x^{2}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\sqrt{x})}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (\sqrt{x}))}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.9

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.10

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.11

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.12

$2$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.13

$2$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.15

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.15.1

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.15.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.15.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.15.1.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.15.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.15.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{1}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.15.2

$2 x^{1}$ を簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x}}{2 x}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x}$

ステップ 5

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{2 x}$ に $\frac{1}{2 x}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x (2 x)}$

ステップ 5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x \cdot x}$

ステップ 5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 (x^{1} x)}$

ステップ 5.4

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})}$

ステップ 5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{1 + 1}}$

ステップ 5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{2}}$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1}{4} \cdot 0$

ステップ 8

$\frac{1}{4}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

微分積分例