微分積分例

$\frac{1}{9} x^{9} - x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{9} x^{9} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{9} x^{9}$ の微分係数は $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{9}]$ です。

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.2

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{9} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.3

$9$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{9}{9} x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.4

$\frac{9}{9}$ と $x^{8}$ をまとめます。

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.5

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.5.2

$x^{8}$ を $1$ で割ります。

$x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{8} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{8} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{8} - 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{8} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 x^{7} + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 8 x^{7} + 0$

ステップ 2.4

$8 x^{7}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 x^{7}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{8} - 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $\frac{1}{9} x^{9} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{9} x^{9}$ の微分係数は $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{9}]$ です。

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{9} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.3

$9$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{9}{9} x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.4

$\frac{9}{9}$ と $x^{8}$ をまとめます。

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.5

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.5.2

$x^{8}$ を $1$ で割ります。

$x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{8} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{8} - 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{8} - 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{8} - 1$ です。

$x^{8} - 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{8} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{8} - 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{8} = 1$

ステップ 5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[8]{1}$

ステップ 5.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1, - 1$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$8 {(1)}^{7}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

1のすべての数の累乗は1です。

$8 \cdot 1$

ステップ 9.2

$8$ に $1$ をかけます。

$8$

ステップ 10

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1}{9} \cdot {(1)}^{9} - (1)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{9} \cdot 1 - (1)$

ステップ 11.2.1.2

$\frac{1}{9}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{9} - (1)$

ステップ 11.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{9} - 1$

ステップ 11.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$f (1) = \frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 11.2.3

$- 1$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$f (1) = \frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.5.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (1) = \frac{1 - 9}{9}$

ステップ 11.2.5.2

$1$ から $9$ を引きます。

$f (1) = \frac{- 8}{9}$

ステップ 11.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (1) = - \frac{8}{9}$

ステップ 11.2.7

最終的な答えは $- \frac{8}{9}$ です。

$y = - \frac{8}{9}$

ステップ 12

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$8 {(- 1)}^{7}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

$- 1$ を $7$ 乗します。

$8 \cdot - 1$

ステップ 13.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$- 8$

ステップ 14

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{1}{9} \cdot {(- 1)}^{9} - (- 1)$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 1$ を $9$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{9} \cdot - 1 - (- 1)$

ステップ 15.2.1.2

$\frac{1}{9}$ と $- 1$ をまとめます。

$f (- 1) = \frac{- 1}{9} - (- 1)$

ステップ 15.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - (- 1)$

ステップ 15.2.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + 1$

ステップ 15.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + \frac{9}{9}$

ステップ 15.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = \frac{- 1 + 9}{9}$

ステップ 15.2.2.3

$- 1$ と $9$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{8}{9}$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $\frac{8}{9}$ です。

$y = \frac{8}{9}$

ステップ 16

$f (x) = \frac{1}{9} x^{9} - x$ の極値です。

$(1, - \frac{8}{9})$ は極小値です

$(- 1, \frac{8}{9})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例