微分積分例

$f (x) = 7 e^{- x} - 9 e^{- 7 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $7 e^{- x} - 9 e^{- 7 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [7 e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 e^{- x}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$

ステップ 1.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$7 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$

ステップ 1.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$7 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$

ステップ 1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$

ステップ 1.2.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$7 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$

ステップ 1.2.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$7 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$

ステップ 1.2.8

$- 1$ に $7$ をかけます。

$- 7 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 e^{- 7 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 e^{- 7 x}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]$ です。

$- 7 e^{- x} - 9 \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 7 x$ とします。

$- 7 e^{- x} - 9 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 7 x])$

ステップ 1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 7 e^{- x} - 9 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x])$

ステップ 1.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 7 x$ で置き換えます。

$- 7 e^{- x} - 9 (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x])$

ステップ 1.3.3

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 7 e^{- x} - 9 (e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 e^{- x} - 9 (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1))$

ステップ 1.3.5

$- 7$ に $1$ をかけます。

$- 7 e^{- x} - 9 (e^{- 7 x} \cdot - 7)$

ステップ 1.3.6

$- 7$ を $e^{- 7 x}$ の左に移動させます。

$- 7 e^{- x} - 9 (- 7 \cdot e^{- 7 x})$

ステップ 1.3.7

$- 7$ に $- 9$ をかけます。

$- 7 e^{- x} + 63 e^{- 7 x}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = 63 e^{- 7 x} - 7 e^{- x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $63 e^{- 7 x} - 7 e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [63 e^{- 7 x}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [63 e^{- 7 x}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [63 e^{- 7 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$63$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $63 e^{- 7 x}$ の微分係数は $63 \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]$ です。

$63 \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- 7 x$ とします。

$63 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$

ステップ 2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$63 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- 7 x$ で置き換えます。

$63 (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$

ステップ 2.2.3

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$63 (e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$63 (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$

ステップ 2.2.5

$- 7$ に $1$ をかけます。

$63 (e^{- 7 x} \cdot - 7) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$

ステップ 2.2.6

$- 7$ を $e^{- 7 x}$ の左に移動させます。

$63 (- 7 \cdot e^{- 7 x}) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$

ステップ 2.2.7

$- 7$ に $63$ をかけます。

$- 441 e^{- 7 x} + \frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 7 e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 e^{- x}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$- 441 e^{- 7 x} - 7 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$- 441 e^{- 7 x} - 7 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 441 e^{- 7 x} - 7 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- 441 e^{- 7 x} - 7 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 441 e^{- 7 x} - 7 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 441 e^{- 7 x} - 7 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 441 e^{- 7 x} - 7 (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 2.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- 441 e^{- 7 x} - 7 (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 2.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- 441 e^{- 7 x} - 7 (- e^{- x})$

ステップ 2.3.8

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$- 441 e^{- 7 x} + 7 e^{- x}$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 7 e^{- x} - 441 e^{- 7 x}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $7 e^{- x} - 441 e^{- 7 x}$ です。

$7 e^{- x} - 441 e^{- 7 x}$

微分積分 例

微分積分例