微分積分例

$y = \frac{e^{x} + 1}{1 - e^{x}}$

ステップ 1

式 $\frac{e^{x} + 1}{1 - e^{x}}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{1 - e^{x}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 2.1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}{lim_{x \to \infty} 1 - e^{x}}$

ステップ 2.1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1.2.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - e^{x}}$

ステップ 2.1.1.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - e^{x}}$

ステップ 2.1.1.2.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} 1 - e^{x}}$

ステップ 2.1.1.2.4

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - e^{x}}$

ステップ 2.1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 2.1.1.3.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty}{1 - lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 2.1.1.3.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{1 - \infty}$

ステップ 2.1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.1.3.3.1

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\frac{\infty}{1 + - \infty}$

ステップ 2.1.1.3.3.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2.1.1.3.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2.1.1.3.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2.1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2.1.2

$\frac{\infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{1 - e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

ステップ 2.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

ステップ 2.1.3.2

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

ステップ 2.1.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

ステップ 2.1.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

ステップ 2.1.3.5

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

ステップ 2.1.3.6

総和則では、 $1 - e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

ステップ 2.1.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

ステップ 2.1.3.8

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 2.1.3.8.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - e^{x}}$

ステップ 2.1.3.9

$0$ から $e^{x}$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- e^{x}}$

ステップ 2.1.4

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- e^{x}}$

ステップ 2.1.4.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.1.4.3

$\frac{1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2

極限を求めます。

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ステップ 2.2.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $- 1 \cdot 1$ の極限値を求めます。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 3

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x} + 1}{1 - e^{x}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}{lim_{x \to - \infty} 1 - e^{x}}$

ステップ 3.1.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} 1 - e^{x}}$

ステップ 3.2

指数 $x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{0 + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} 1 - e^{x}}$

ステップ 3.3

極限を求めます。

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ステップ 3.3.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + 1}{lim_{x \to - \infty} 1 - e^{x}}$

ステップ 3.3.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0 + 1}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} e^{x}}$

ステップ 3.3.3

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + 1}{1 - lim_{x \to - \infty} e^{x}}$

ステップ 3.4

指数 $x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{0 + 1}{1 - 0}$

ステップ 3.5

答えを簡約します。

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ステップ 3.5.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{1 - 0}$

ステップ 3.5.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{1 + 0}$

ステップ 3.5.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 3.5.3

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = - 1, 1$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = - 1, 1$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例