微分積分例

$y = 4 - 4 x^{2}$ , $y = 0$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = - 4 x^{2} + 4$ ならば $V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

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ステップ 2.1

${(- 4 x^{2} + 4)}^{2}$ を $(- 4 x^{2} + 4) (- 4 x^{2} + 4)$ に書き換えます。

$V = (- 4 x^{2} + 4) (- 4 x^{2} + 4)$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 x^{2} + 4) (- 4 x^{2} + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$V = - 4 x^{2} (- 4 x^{2} + 4) + 4 (- 4 x^{2} + 4)$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$V = - 4 x^{2} (- 4 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 4 + 4 (- 4 x^{2} + 4)$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$V = - 4 x^{2} (- 4 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 4 + 4 (- 4 x^{2}) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$V = - 4 \cdot (- 4 x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 4 + 4 (- 4 x^{2}) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$V = - 4 \cdot (- 4 (x^{2} x^{2})) - 4 x^{2} \cdot 4 + 4 (- 4 x^{2}) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = - 4 \cdot (- 4 x^{2 + 2}) - 4 x^{2} \cdot 4 + 4 (- 4 x^{2}) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$V = - 4 \cdot (- 4 x^{4}) - 4 x^{2} \cdot 4 + 4 (- 4 x^{2}) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$V = 16 x^{4} - 4 x^{2} \cdot 4 + 4 (- 4 x^{2}) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.1.4

$4$ に $- 4$ をかけます。

$V = 16 x^{4} - 16 x^{2} + 4 (- 4 x^{2}) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.1.5

$- 4$ に $4$ をかけます。

$V = 16 x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.1.6

$4$ に $4$ をかけます。

$V = 16 x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 16$

ステップ 2.3.2

$- 16 x^{2}$ から $16 x^{2}$ を引きます。

$V = 16 x^{4} - 32 x^{2} + 16$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{- 1}^{1} 16 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 32 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 16 d x)$

ステップ 4

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$V = π (16 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 32 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 16 d x)$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$V = π (16 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 32 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 16 d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$V = π (16 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 32 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 16 d x)$

ステップ 7

$- 32$ は $x$ に対して定数なので、 $- 32$ を積分の外に移動させます。

$V = π (16 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 32 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 16 d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$V = π (16 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 32 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 16 d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$V = π (16 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 32 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 16 d x)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$V = π (16 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 32 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 16 x]_{- 1}^{1})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$1$ および $- 1$ で $\frac{x^{5}}{5}$ の値を求めます。

$V = π (16 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 32 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 16 x]_{- 1}^{1})$

ステップ 11.2

$1$ および $- 1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$V = π (16 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 32 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 x]_{- 1}^{1})$

ステップ 11.3

$1$ および $- 1$ で $16 x$ の値を求めます。

$V = π (16 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 32 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4

簡約します。

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ステップ 11.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (16 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 32 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$V = π (16 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) - 32 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (16 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 32 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V = π (16 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) - 32 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.5

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$V = π (16 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 32 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.6

公分母の分子をまとめます。

$V = π (16 (\frac{1 + 1}{5}) - 32 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$V = π (16 (\frac{2}{5}) - 32 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.8

$16$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$V = π (\frac{16 \cdot 2}{5} - 32 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.9

$16$ に $2$ をかけます。

$V = π (\frac{32}{5} - 32 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.10

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (\frac{32}{5} - 32 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.11

$- 1$ を $3$ 乗します。

$V = π (\frac{32}{5} - 32 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.12

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (\frac{32}{5} - 32 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V = π (\frac{32}{5} - 32 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.14

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$V = π (\frac{32}{5} - 32 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.15

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{32}{5} - 32 \frac{1 + 1}{3} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.16

$1$ と $1$ をたし算します。

$V = π (\frac{32}{5} - 32 (\frac{2}{3}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.17

$- 32$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$V = π (\frac{32}{5} + \frac{- 32 \cdot 2}{3} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.18

$- 32$ に $2$ をかけます。

$V = π (\frac{32}{5} + \frac{- 64}{3} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.19

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (\frac{32}{5} - \frac{64}{3} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.20

$\frac{32}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$V = π (\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.21

$- \frac{64}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$V = π (\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.22

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 11.4.22.1

$\frac{32}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$V = π (\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.22.2

$5$ に $3$ をかけます。

$V = π (\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.22.3

$\frac{64}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$V = π (\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.22.4

$3$ に $5$ をかけます。

$V = π (\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{15} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.23

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{32 \cdot 3 - 64 \cdot 5}{15} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.24

分子を簡約します。

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ステップ 11.4.24.1

$32$ に $3$ をかけます。

$V = π (\frac{96 - 64 \cdot 5}{15} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.24.2

$- 64$ に $5$ をかけます。

$V = π (\frac{96 - 320}{15} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.24.3

$96$ から $320$ を引きます。

$V = π (\frac{- 224}{15} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.25

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (- \frac{224}{15} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.26

$16$ に $1$ をかけます。

$V = π (- \frac{224}{15} + 16 - 16 \cdot - 1)$

ステップ 11.4.27

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$V = π (- \frac{224}{15} + 16 + 16)$

ステップ 11.4.28

$16$ と $16$ をたし算します。

$V = π (- \frac{224}{15} + 32)$

ステップ 11.4.29

$32$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$V = π (- \frac{224}{15} + 32 \cdot \frac{15}{15})$

ステップ 11.4.30

$32$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$V = π (- \frac{224}{15} + \frac{32 \cdot 15}{15})$

ステップ 11.4.31

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{- 224 + 32 \cdot 15}{15})$

ステップ 11.4.32

分子を簡約します。

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ステップ 11.4.32.1

$32$ に $15$ をかけます。

$V = π (\frac{- 224 + 480}{15})$

ステップ 11.4.32.2

$- 224$ と $480$ をたし算します。

$V = π (\frac{256}{15})$

ステップ 11.4.33

$π$ と $\frac{256}{15}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 256}{15}$

ステップ 11.4.34

$256$ を $π$ の左に移動させます。

$V = \frac{256 π}{15}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{256 π}{15}$

10進法形式：

$V = 53.61651462 \dots$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例