微分積分例

$y = - 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2} e^{x}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

ステップ 1.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

ステップ 1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [5 x e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x e^{x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

ステップ 1.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

ステップ 1.3.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 e^{x}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

ステップ 1.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

ステップ 1.5.3.2

$- 8 e^{x} x$ と $5 x e^{x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 5 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 8 x e^{x}$ と $5 x e^{x}$ をたし算します。

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

ステップ 1.5.3.3

$5 e^{x}$ から $10 e^{x}$ を引きます。

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 1.5.4

項を並べ替えます。

$- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$

ステップ 1.5.5

$- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2} e^{x}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.2.2

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x e^{x}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.3.2

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.3.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 e^{x}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 2.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 2.5.3.2

$- 8 e^{x} x$ から $3 x e^{x}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} - 3 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 2.5.3.2.2

$- 8 x e^{x}$ から $3 x e^{x}$ を引きます。

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 2.5.3.3

$- 3 e^{x}$ から $5 e^{x}$ を引きます。

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$

ステップ 2.5.4

項を並べ替えます。

$- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$

ステップ 2.5.5

$- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$

微分積分 例

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