微分積分例

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

ステップ 1

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 108$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 108) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$2$ を $x^{2} + 108$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 108) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 108$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

$108$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $108$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.1.2

$2$ に $108$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.2

$2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{216 x + 0}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.2.2

$216 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$216$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$ の微分係数は $216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$ です。

$216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 108)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

${({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.3

${(x^{2} + 108)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

ステップ 2.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 108$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 108$ とします。

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 108$ で置き換えます。

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 (x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

ステップ 2.2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2

$x^{2} + 108$ を ${(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

$x^{2} + 108$ を ${(x^{2} + 108)}^{2}$ で因数分解します。

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2.2

$x^{2} + 108$ を $- 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ で因数分解します。

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2.3

$x^{2} + 108$ を $(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))$ で因数分解します。

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

ステップ 2.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$x^{2} + 108$ を ${(x^{2} + 108)}^{4}$ で因数分解します。

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.6.3

式を書き換えます。

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.7

総和則では、 $x^{2} + 108$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ です。

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.9

$108$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $108$ の微分係数は $0$ です。

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$216 \frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.16

$216$ と $\frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{216 (- 3 x^{2} + 108)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{216 (- 3 x^{2}) + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.17.2.1

$- 3$ に $216$ をかけます。

$\frac{- 648 x^{2} + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.2.2

$216$ に $108$ をかけます。

$\frac{- 648 x^{2} + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.17.3.1

$648$ を $- 648 x^{2} + 23328$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.17.3.1.1

$648$ を $- 648 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{648 (- x^{2}) + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3.1.2

$648$ を $23328$ で因数分解します。

$\frac{648 (- x^{2}) + 648 (36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3.1.3

$648$ を $648 (- x^{2}) + 648 (36)$ で因数分解します。

$\frac{648 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{648 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3.3

$- x^{2}$ と $6^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{648 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.2.17.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 6$ であり、 $b = x$ です。

$f'' (x) = \frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ です。

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$648 (6 + x) (6 - x) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$6 + x = 0$

$6 - x = 0$

ステップ 3.3.2

$6 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$6 + x$ が $0$ に等しいとします。

$6 + x = 0$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 3.3.3

$6 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$6 - x$ が $0$ に等しいとします。

$6 - x = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x$ について $6 - x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- x = - 6$

ステップ 3.3.3.2.2

$- x = - 6$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

$- x = - 6$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.3.1

$- 6$ を $- 1$ で割ります。

$x = 6$

ステップ 3.3.4

最終解は $648 (6 + x) (6 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 6, 6$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 6$ を $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{{(- 6)}^{2} + 108}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f (- 6) = \frac{36}{{(- 6)}^{2} + 108}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f (- 6) = \frac{36}{36 + 108}$

ステップ 4.1.2.2.2

$36$ と $108$ をたし算します。

$f (- 6) = \frac{36}{144}$

ステップ 4.1.2.3

$36$ と $144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$36$ を $36$ で因数分解します。

$f (- 6) = \frac{36 (1)}{144}$

ステップ 4.1.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

$36$ を $144$ で因数分解します。

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (- 6) = \frac{1}{4}$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ で代入して $- 6$ 求めた点は、 $(- 6, \frac{1}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 6, \frac{1}{4})$

ステップ 4.3

$6$ を $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{{(6)}^{2} + 108}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f (6) = \frac{36}{6^{2} + 108}$

ステップ 4.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f (6) = \frac{36}{36 + 108}$

ステップ 4.3.2.2.2

$36$ と $108$ をたし算します。

$f (6) = \frac{36}{144}$

ステップ 4.3.2.3

$36$ と $144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$36$ を $36$ で因数分解します。

$f (6) = \frac{36 (1)}{144}$

ステップ 4.3.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.1

$36$ を $144$ で因数分解します。

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

ステップ 4.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

ステップ 4.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (6) = \frac{1}{4}$

ステップ 4.3.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ で代入して $6$ 求めた点は、 $(6, \frac{1}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(6, \frac{1}{4})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 6)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 6.1$ で置換えます。

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1$ に $- 6.1$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$6$ から $6.1$ を引きます。

$f'' (- 6.1) = \frac{648 \cdot (- 0.1 (6 + 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

$648$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = \frac{- 64.8 (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3.2

$- 64.8$ に $6 + 6.1$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 6.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 6.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

ステップ 6.2.3.2

$37.21$ と $108$ をたし算します。

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{145.21}^{3}}$

ステップ 6.2.3.3

$145.21$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{3061889.942761}$

ステップ 6.2.4

$- 784.08$ を $3061889.942761$ で割ります。

$f'' (- 6.1) = - 0.00025607$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- 0.00025607$ です。

$- 0.00025607$

ステップ 6.3

$- 6.1$ で二次導関数は $- 0.00025607$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 6)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 6)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 6, 6)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

括弧を削除します。

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 + 0)}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.1.2

$6 + 0$ を $1$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.1.3

$6 + 0$ を $1$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 6^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 7.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0 + 108)}^{3}}$

ステップ 7.2.3.2

$0$ と $108$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{108^{3}}$

ステップ 7.2.3.3

$108$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{1259712}$

ステップ 7.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$648$ に $36$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{23328}{1259712}$

ステップ 7.2.4.2

$23328$ と $1259712$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1

$23328$ を $23328$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{23328 (1)}{1259712}$

ステップ 7.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.2.1

$23328$ を $1259712$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

ステップ 7.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

ステップ 7.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{1}{54}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $\frac{1}{54}$ です。

$\frac{1}{54}$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $0.0\overline{185}$ です。これは正の値なので、 $(- 6, 6)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 6, 6)$ で増加

ステップ 8

区間 $(6, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $6.1$ で置換えます。

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

括弧を削除します。

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 1$ に $6.1$ をかけます。

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$6$ と $6.1$ をたし算します。

$f'' (6.1) = \frac{648 \cdot (12.1 (6 - 6.1))}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.3.1

$648$ に $12.1$ をかけます。

$f'' (6.1) = \frac{7840.8 (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3.2

$7840.8$ に $6 - 6.1$ をかけます。

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

ステップ 8.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$6.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

ステップ 8.2.3.2

$37.21$ と $108$ をたし算します。

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{145.21}^{3}}$

ステップ 8.2.3.3

$145.21$ を $3$ 乗します。

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{3061889.942761}$

ステップ 8.2.4

$- 784.07999999$ を $3061889.942761$ で割ります。

$f'' (6.1) = - 0.00025607$

ステップ 8.2.5

最終的な答えは $- 0.00025607$ です。

$- 0.00025607$

ステップ 8.3

$6.1$ で二次導関数は $- 0.00025607$ です。これは負の値なので、 $(6, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(6, \infty)$ で減少

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$ です。

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例