微分積分例

$z = u^{\frac{3}{2}} (u + c e^{u})$

ステップ 1

$f (c) = u^{\frac{3}{2}}$ および $g (c) = u + c e^{u}$ のとき、 $\frac{d}{d c} [f (c) g (c)]$ は $f (c) \frac{d}{d c} [g (c)] + g (c) \frac{d}{d c} [f (c)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$u^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d c} [u + c e^{u}] + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $u + c e^{u}$ の $c$ に関する積分は $\frac{d}{d c} [u] + \frac{d}{d c} [c e^{u}]$ です。

$u^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d c} [u] + \frac{d}{d c} [c e^{u}]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 2.2

$u$ は $c$ について定数なので、 $c$ について $u$ の微分係数は $0$ です。

$u^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d c} [c e^{u}]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d c} [c e^{u}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$e^{u}$ は $c$ に対して定数なので、 $c$ に対する $c e^{u}$ の微分係数は $e^{u} \frac{d}{d c} [c]$ です。

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u} \frac{d}{d c} [c]) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ は $n c^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u} \cdot 1) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 3.3

$e^{u}$ に $1$ をかけます。

$u^{\frac{3}{2}} (0 + e^{u}) + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$0$ と $e^{u}$ をたし算します。

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + (u + c e^{u}) \frac{d}{d c} [u^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.2

$u^{\frac{3}{2}}$ は $c$ について定数なので、 $c$ について $u^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $0$ です。

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + (u + c e^{u}) \cdot 0$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + u \cdot 0 + c e^{u} \cdot 0$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$u$ に $0$ をかけます。

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + c e^{u} \cdot 0$

ステップ 5.2.2

$0$ に $c$ をかけます。

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + 0 e^{u}$

ステップ 5.2.3

$0$ に $e^{u}$ をかけます。

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0 + 0$

ステップ 5.2.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$u^{\frac{3}{2}} e^{u} + 0$

ステップ 5.2.5

$u^{\frac{3}{2}} e^{u}$ と $0$ をたし算します。

$u^{\frac{3}{2}} e^{u}$

ステップ 5.3

$u^{\frac{3}{2}} e^{u}$ の因数を並べ替えます。

$e^{u} u^{\frac{3}{2}}$

微分積分 例

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