微分積分例

$y = (4 x^{2} + 9) (2 x - 3 + \frac{7}{x})$

ステップ 1

$f (x) = 4 x^{2} + 9$ および $g (x) = 2 x - 3 + \frac{7}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(4 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [2 x - 3 + \frac{7}{x}] + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 2

総和則では、 $2 x - 3 + \frac{7}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ です。

$(4 x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(4 x^{2} + 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 x^{2} + 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 5

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7}{x}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 5.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 5.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 (- x^{- 2})) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 5.4

$- 1$ に $7$ をかけます。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 x^{- 2}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$(4 x^{2} + 9) (2 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 6.2.2

$- 7$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{- 7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$(4 x^{2} + 9) (2 - \frac{7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

ステップ 7

総和則では、 $4 x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 8

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 8.3

$2$ に $4$ をかけます。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 9

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + 0)$

ステップ 9.2

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x)$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 2 x (8 x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

ステップ 10.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$8$ に $2$ をかけます。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x \cdot x - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

ステップ 10.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

ステップ 10.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x^{1}) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

ステップ 10.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{1 + 1} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

ステップ 10.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

ステップ 10.2.6

$8$ に $- 3$ をかけます。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{7}{x} (8 x)$

ステップ 10.2.7

$8$ と $\frac{7}{x}$ をまとめます。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{8 \cdot 7}{x} x$

ステップ 10.2.8

$8$ に $7$ をかけます。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56}{x} x$

ステップ 10.2.9

$\frac{56}{x}$ と $x$ をまとめます。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

ステップ 10.2.10

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.10.1

共通因数を約分します。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

ステップ 10.2.10.2

$56$ を $1$ で割ります。

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + 56$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$16 x^{2} + (- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

ステップ 10.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1.1

分配則を当てはめます。

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2} + 9) + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

ステップ 10.4.1.2

分配則を当てはめます。

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

ステップ 10.4.1.3

分配則を当てはめます。

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1.1

$- \frac{7}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2.1.1.2

$x^{2}$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2.1.1.4

式を書き換えます。

$16 x^{2} - 7 \cdot 4 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2.1.2

$- 7$ に $4$ をかけます。

$16 x^{2} - 28 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2.1.3

$- \frac{7}{x^{2}} \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.3.1

$9$ に $- 1$ をかけます。

$16 x^{2} - 28 - 9 \frac{7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2.1.3.2

$- 9$ と $\frac{7}{x^{2}}$ をまとめます。

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 9 \cdot 7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2.1.3.3

$- 9$ に $7$ をかけます。

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2.1.5

$4$ に $2$ をかけます。

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2.1.6

$2$ に $9$ をかけます。

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 18 - 24 x + 56$

ステップ 10.4.2.2

$- 28$ と $18$ をたし算します。

$16 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} - 10 - 24 x + 56$

ステップ 10.5

$16 x^{2}$ と $8 x^{2}$ をたし算します。

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 10 - 24 x + 56$

ステップ 10.6

$- 10$ と $56$ をたし算します。

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 24 x + 46$

微分積分 例

微分積分例