微分積分例

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.2.1

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2.2

$2 x^{2} - x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.3

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ です。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$(x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.3.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.3.4

最終解は $(x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ を $- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ に書き換えます。

$- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

ステップ 4.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- (1 - 2 \cdot - 1 + 1)$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- (1 + 2 + 1)$

ステップ 4.1.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$1$ と $2$ をたし算します。

$- (3 + 1)$

ステップ 4.1.2.3.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$- 1 \cdot 4$

ステップ 4.1.2.3.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ を $1$ で割ります。

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 2 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 + 1$

ステップ 4.2.2.3

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1 + 1$

ステップ 4.2.2.3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.3

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{0}$

ステップ 4.3.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, - 4), (1, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例