微分積分例

$\frac{d}{d x} \int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$

ステップ 1

$d$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t]$

ステップ 1.2

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t]$

ステップ 2

$\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{x} \int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ の微分係数は $\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t (- x^{- 2})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 5.2

$\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t (- \frac{1}{x^{2}})$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{1}{x^{2}} \int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$

ステップ 5.3

$- \frac{1}{x^{2}}$ と $\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ をまとめます。

$- \frac{\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t}{x^{2}}$

微分積分 例

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