微分積分例

$y = \frac{16}{x}$ , $y = x$ , $y = \frac{x}{4}$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\frac{16}{x} = x$

ステップ 1.2

$x$ について $\frac{16}{x} = x$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.2

$\frac{16}{x} = x$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{16}{x} = x$ の各項に $x$ を掛けます。

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

式を書き換えます。

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.3

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

方程式を $x^{2} = 16$ として書き換えます。

$x^{2} = 16 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.3.3

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2}} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.2.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

ステップ 1.3

$x = 4$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$4$ を $x$ に代入します。

$y = 4 y = \frac{4}{4}$

ステップ 1.3.2

括弧を削除します。

$y = 4$

ステップ 1.4

$y = \frac{4}{4}$ の $4$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

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ステップ 1.4.1

括弧を削除します。

$y = \frac{4}{4}$

ステップ 1.4.2

$4$ を $4$ で割ります。

$y = 1$

ステップ 1.5

$x = - 4$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

$y = - 4 y = \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.5.2

括弧を削除します。

$y = - 4$

ステップ 1.6

$- 4$ を $4$ で割ります。

$y = - 1$

ステップ 1.7

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{- 4}^{4} x d x - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

ステップ 3

積分し、 $- 4$ と $4$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{- 4}^{4} x - (\frac{16}{x}) d x$

ステップ 3.2

$- 1$ に $\frac{16}{x}$ をかけます。

$\int_{- 4}^{4} x - \frac{16}{x} d x$

ステップ 3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 4}^{4} x d x + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

ステップ 3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

ステップ 3.6

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - (16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.7

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.8

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

ステップ 3.9

答えを簡約します。

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ステップ 3.9.1

代入し簡約します。

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ステップ 3.9.1.1

$4$ および $- 4$ で $\frac{1}{2} x^{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

ステップ 3.9.1.2

$4$ および $- 4$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3

簡約します。

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ステップ 3.9.1.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $16$ をまとめます。

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.3

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.1.3.3.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.1.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.3.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$8 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.4

$- 4$ を $2$ 乗します。

$8 - \frac{1}{2} \cdot 16 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.5

$16$ に $- 1$ をかけます。

$8 - 16 (\frac{1}{2}) - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.6

$- 16$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$8 + \frac{- 16}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.7

$- 16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.1.3.7.1

$2$ を $- 16$ で因数分解します。

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.1.3.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.7.2.3

式を書き換えます。

$8 + \frac{- 8}{1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.7.2.4

$- 8$ を $1$ で割ります。

$8 - 8 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.8

$8$ から $8$ を引きます。

$0 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.1.3.9

$0$ から $16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$ を引きます。

$- 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

ステップ 3.9.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- 16 \ln (\frac{| 4 |}{| - 4 |})$

ステップ 3.9.3

簡約します。

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ステップ 3.9.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$- 16 \ln (\frac{4}{| - 4 |})$

ステップ 3.9.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 4$ と $0$ の間の距離は $4$ です。

$- 16 \ln (\frac{4}{4})$

ステップ 3.9.3.3

$4$ を $4$ で割ります。

$- 16 \ln (1)$

ステップ 3.9.3.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- 16 \cdot 0$

ステップ 3.9.3.5

$- 16$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例