微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

ステップ 1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

ステップ 1.3

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は負の定数 $- 2$ 倍 $- \infty$ に近づきます。

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ステップ 1.3.1

定数の倍数 $- 2$ を削除した極限を考えます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 1.3.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.3.3

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は負の定数 $- 2$ 倍 $- \infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 1.3.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

ステップ 3.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 e^{x}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 e^{x}}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{- 2 e^{x}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (- 2 e^{x})}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{- 2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{x})}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x (e^{x})}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1}{- 2} \cdot 0$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 7.2

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{1}{2})$

ステップ 7.2.2

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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