微分積分例

$y = {(1 + \frac{5}{x})}^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 1 + \frac{5}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + \frac{5}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $1 + \frac{5}{x}$ で置き換えます。

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $1 + \frac{5}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ です。

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

ステップ 1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ をたし算します。

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

ステップ 1.2.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 1.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$5$ に $3$ をかけます。

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2.5.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.2.6

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

ステップ 1.2.7

$- 1$ に $15$ をかけます。

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} x^{- 2}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $- 15$ をまとめます。

$\frac{- 15}{x^{2}} {(1 + \frac{5}{x})}^{2}$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{- 15}{x^{2}}$ と ${(1 + \frac{5}{x})}^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{15 {(\frac{x}{x} + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{15 {(\frac{x + 5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3.3

積の法則を $\frac{x + 5}{x}$ に当てはめます。

$- \frac{15 \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.4

$15$ と $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

ステップ 1.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 1.3.6

まとめる。

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

ステップ 1.3.7

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

ステップ 1.3.7.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

ステップ 1.3.8

$15 {(x + 5)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$ です。

$- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = {(x + 5)}^{2}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 2.3

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 5$ とします。

$- 15 \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 \frac{x^{4} (2 u \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $x + 5$ で置き換えます。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 2.5.3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + 0)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 2.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \cdot 1) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 2.5.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 2.5.5

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} (4 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.5.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 2.5.6.2

$- 15$ と $\frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$ をまとめます。

$\frac{- 15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.5.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{15 (x^{4} (2 x + 2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{15 (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{15 (x^{4} (2 x)) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{15 (x \cdot x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{15 (x^{1} x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{15 (x^{1 + 4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{15 (x^{5} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.2

$2$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$- \frac{15 (2 \cdot x^{5}) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.3

$2$ に $15$ をかけます。

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.4

$2$ に $5$ をかけます。

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} \cdot 10) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.5

$10$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$- \frac{30 x^{5} + 15 (10 \cdot x^{4}) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.6

$10$ に $15$ をかけます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.7

${(x + 5)}^{2}$ を $(x + 5) (x + 5)$ に書き換えます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 ((x + 5) (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.8

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 5) (x + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.8.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x (x + 5) + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.8.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.8.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.9.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.9.1.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.9.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.9.2

$5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 10 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.10

分配則を当てはめます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 4 (10 x) - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.11.1

$10$ に $- 4$ をかけます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.11.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 100) x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.12

分配則を当てはめます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{2} x^{3} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.13.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.13.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.13.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{3 + 2} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.13.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.13.2

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.13.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.13.2.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.13.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x^{1}) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.13.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{3 + 1} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.13.2.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{4} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.14

分配則を当てはめます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5}) + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.15.1

$- 4$ に $15$ をかけます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.15.2

$- 40$ に $15$ をかけます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.1.15.3

$- 100$ に $15$ をかけます。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.2

$30 x^{5}$ から $60 x^{5}$ を引きます。

$- \frac{- 30 x^{5} + 150 x^{4} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 2.6.4.3

$150 x^{4}$ から $600 x^{4}$ を引きます。

$- \frac{- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 2.6.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

$30 x^{3}$ を $- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1.1

$30 x^{3}$ を $- 30 x^{5}$ で因数分解します。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 2.6.5.1.2

$30 x^{3}$ を $- 450 x^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 2.6.5.1.3

$30 x^{3}$ を $- 1500 x^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

ステップ 2.6.5.1.4

$30 x^{3}$ を $30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x)$ で因数分解します。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

ステップ 2.6.5.1.5

$30 x^{3}$ を $30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)$ で因数分解します。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x - 50)}{x^{8}}$

ステップ 2.6.5.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 50 = 50$ で和が $b = - 15$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.1.1

$- 15$ を $- 15 x$ で因数分解します。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 (x) - 50)}{x^{8}}$

ステップ 2.6.5.2.1.2

$- 15$ を $- 5$ プラス $- 10$ に書き換える

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} + (- 5 - 10) x - 50)}{x^{8}}$

ステップ 2.6.5.2.1.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 5 x - 10 x - 50)}{x^{8}}$

ステップ 2.6.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- \frac{30 x^{3} ((- x^{2} - 5 x) - 10 x - 50)}{x^{8}}$

ステップ 2.6.5.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- \frac{30 x^{3} (x (- x - 5) + 10 (- x - 5))}{x^{8}}$

ステップ 2.6.5.2.3

最大公約数 $- x - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- \frac{30 x^{3} ((- x - 5) (x + 10))}{x^{8}}$

$- \frac{30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)}{x^{8}}$

ステップ 2.6.6

$x^{3}$ と $x^{8}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.1

$x^{3}$ を $30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)$ で因数分解します。

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{8}}$

ステップ 2.6.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.2.1

$x^{3}$ を $x^{8}$ で因数分解します。

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 2.6.6.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 2.6.6.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{(30 (- x - 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

ステップ 2.6.7

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$- \frac{30 (- (x) - 5) (x + 10)}{x^{5}}$

ステップ 2.6.8

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$- \frac{30 (- (x) - 1 (5)) (x + 10)}{x^{5}}$

ステップ 2.6.9

$- 1$ を $- (x) - 1 (5)$ で因数分解します。

$- \frac{30 (- (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

ステップ 2.6.10

$- (x + 5)$ を $- 1 (x + 5)$ に書き換えます。

$- \frac{30 (- 1 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

ステップ 2.6.11

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

ステップ 2.6.12

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

ステップ 2.6.13

$\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

ステップ 2.6.14

$\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$ の微分係数は $30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$ です。

$30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$

ステップ 3.2

$f (x) = (x + 5) (x + 10)$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

ステップ 3.3

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.2

$5$ に $2$ をかけます。

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.4

$f (x) = x + 5$ および $g (x) = x + 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

総和則では、 $x + 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ です。

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.3

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.4.2

$x + 5$ に $1$ をかけます。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.5

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.7

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + 0)) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \cdot 1) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.8.2

$x + 10$ に $1$ をかけます。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + x + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$30 \frac{x^{5} (2 x + 5 + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.8.4

$5$ と $10$ をたし算します。

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.5.9

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) (5 x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 3.5.10

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.10.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 3.5.10.2

$x^{4}$ を $x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.10.2.1

$x^{4}$ を $x^{5} (2 x + 15)$ で因数分解します。

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 3.5.10.2.2

$x^{4}$ を $- 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ で因数分解します。

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

ステップ 3.5.10.2.3

$x^{4}$ を $x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))$ で因数分解します。

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

ステップ 3.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x^{4}$ を $x^{10}$ で因数分解します。

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 3.6.3

式を書き換えます。

$30 \frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$

ステップ 3.7

$30$ と $\frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$ をまとめます。

$\frac{30 (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 + (- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{30 (x (2 x)) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{30 (x \cdot x \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{30 (x^{2} \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{30 (2 \cdot x^{2}) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.3

$2$ に $30$ をかけます。

$\frac{60 x^{2} + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.4

$15$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{60 x^{2} + 30 (15 \cdot x) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.5

$15$ に $30$ をかけます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.6

$- 5$ に $5$ をかけます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 25) (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.7

分配法則（FOIL法）を使って $(- 5 x - 25) (x + 10)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x (x + 10) - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.8.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.8.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.8.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.8.1.2

$10$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.8.1.3

$- 25$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 250)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.8.2

$- 50 x$ から $25 x$ を引きます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 75 x - 250)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.9

分配則を当てはめます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2}) + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1.10.1

$- 5$ に $30$ をかけます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.10.2

$- 75$ に $30$ をかけます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.1.10.3

$30$ に $- 250$ をかけます。

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.2

$60 x^{2}$ から $150 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 90 x^{2} + 450 x - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

ステップ 3.8.4.3

$450 x$ から $2250 x$ を引きます。

$\frac{- 90 x^{2} - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

ステップ 3.8.5

$30$ を $- 90 x^{2} - 1800 x - 7500$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.5.1

$30$ を $- 90 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{30 (- 3 x^{2}) - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

ステップ 3.8.5.2

$30$ を $- 1800 x$ で因数分解します。

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) - 7500}{x^{6}}$

ステップ 3.8.5.3

$30$ を $- 7500$ で因数分解します。

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.5.4

$30$ を $30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x)$ で因数分解します。

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.5.5

$30$ を $30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)$ で因数分解します。

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x - 250)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.6

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - 60 x - 250)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.7

$- 1$ を $- 60 x$ で因数分解します。

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - (60 x) - 250)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.8

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (60 x)$ で因数分解します。

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 250)}{x^{6}}$

ステップ 3.8.9

$- 250$ を $- 1 (250)$ に書き換えます。

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.10

$- 1$ を $- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250)$ で因数分解します。

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.11

$- (3 x^{2} + 60 x + 250)$ を $- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250)$ に書き換えます。

$\frac{30 (- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

ステップ 3.8.12

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{30 (3 x^{2} + 60 x + 250)}{x^{6}}$

微分積分 例

微分積分例