微分積分例

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 1

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.1.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (x) \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

ステップ 2.2.4

簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ です。

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 3.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{π}{3}$ を $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.4

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

ステップ 4.1.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 4.1.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

ステップ 4.1.2.2.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $\frac{5}{4}$ です。

$\frac{5}{4}$

ステップ 4.2

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ で代入して $\frac{π}{3}$ 求めた点は、 $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{π}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.94719755$ で置換えます。

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

ステップ 6.2

最終的な答えは $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ です。

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

ステップ 6.3

$0.94719755$ で二次導関数は $- 0.53195951$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{π}{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{π}{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{π}{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.14719755$ で置換えます。

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

ステップ 7.2

最終的な答えは $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ です。

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

ステップ 7.3

$1.14719755$ で二次導関数は $0.50208433$ です。これは正の値なので、 $(\frac{π}{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{π}{3}, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ です。

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

ステップ 9

微分積分 例

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