微分積分例

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x + 10$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2

総和則では、 $x + 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - (x + 10) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.7

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.2.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.7.2

$x$ を $x^{2} - 2 (x + 10) x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.2.7.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.7.2.2

$x$ を $- 2 (x + 10) x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 10))}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.7.2.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 2 (x + 10))$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x^{4}}$

ステップ 1.1.3

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 1.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 1.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{x - 2 (x + 10)}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 10}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 2$ に $10$ をかけます。

$\frac{x - 2 x - 20}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.2.2

$x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) - 20}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.4

$- 20$ を $- 1 (20)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (20)}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (20)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + 20)}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.6

$- (x + 20)$ を $- 1 (x + 20)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + 20)}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x + 20}{x^{3}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x + 20}{x^{3}}$ です。

$- \frac{x + 20}{x^{3}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x + 20 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$x = - 20$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- 20$ です。

$- 20$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{x + 20}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 20) \cup (- 20, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 20)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 21$ で置換えます。

$f' (- 21) = - \frac{(- 21) + 20}{{(- 21)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

式を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 21$ と $20$ をたし算します。

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{{(- 21)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 21$ を $3$ 乗します。

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{- 9261}$

ステップ 6.2.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$f' (- 21) = - \frac{1}{9261}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{9261}$ です。

$- \frac{1}{9261}$

ステップ 6.3

$x = - 21$ で微分係数は $- \frac{1}{9261}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 20)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 20)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 20, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 10$ で置換えます。

$f' (- 10) = - \frac{(- 10) + 20}{{(- 10)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 10$ と $20$ をたし算します。

$f' (- 10) = - \frac{10}{{(- 10)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 10$ を $3$ 乗します。

$f' (- 10) = - \frac{10}{- 1000}$

ステップ 7.2.2

$10$ と $- 1000$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$10$ を $10$ で因数分解します。

$f' (- 10) = - \frac{10 (1)}{- 1000}$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$10$ を $- 1000$ で因数分解します。

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

ステップ 7.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

ステップ 7.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (- 10) = - \frac{1}{- 100}$

ステップ 7.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 10) = \frac{1}{100}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{100}$ です。

$\frac{1}{100}$

ステップ 7.3

$x = - 10$ で微分係数は $\frac{1}{100}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 20, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 20, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - \frac{(1) + 20}{{(1)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$1$ と $20$ をたし算します。

$f' (1) = - \frac{21}{1^{3}}$

ステップ 8.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = - \frac{21}{1}$

ステップ 8.2.3

$21$ を $1$ で割ります。

$f' (1) = - 1 \cdot 21$

ステップ 8.2.4

$- 1$ に $21$ をかけます。

$f' (1) = - 21$

ステップ 8.2.5

最終的な答えは $- 21$ です。

$- 21$

ステップ 8.3

$x = 1$ で微分係数は $- 21$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 20, 0)$ で増加

$(- \infty, - 20), (0, \infty)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例