微分積分例

$2 x - \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{x^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$2 - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 1.1.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 1.1.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$2 - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 1.1.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 1.1.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$2 - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

ステップ 1.1.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 1.1.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$2 - 2 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 1.1.3.10

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$2 + 4 x^{- 3}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 + 4 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.2

$4$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$2 + \frac{4}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{4}{x^{3}} + 2$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4}{x^{3}} + 2$ です。

$\frac{4}{x^{3}} + 2$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4}{x^{3}} + 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4}{x^{3}} + 2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{4}{x^{3}} = - 2$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{3}, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{3}$

ステップ 2.4

$\frac{4}{x^{3}} = - 2$ の各項に $x^{3}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{4}{x^{3}} = - 2$ の各項に $x^{3}$ を掛けます。

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

ステップ 2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$4 = - 2 x^{3}$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

方程式を $- 2 x^{3} = 4$ として書き換えます。

$- 2 x^{3} = 4$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- 2 x^{3} - 4 = 0$

ステップ 2.5.3

$- 2$ を $- 2 x^{3} - 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$- 2$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x^{3} - 4 = 0$

ステップ 2.5.3.2

$- 2$ を $- 4$ で因数分解します。

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 2 = 0$

ステップ 2.5.3.3

$- 2$ を $- 2 (x^{3}) - 2 (2)$ で因数分解します。

$- 2 (x^{3} + 2) = 0$

ステップ 2.5.4

$- 2 (x^{3} + 2) = 0$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$- 2 (x^{3} + 2) = 0$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 (x^{3} + 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 2.5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 (x^{3} + 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 2.5.4.2.1.2

$x^{3} + 2$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 2}$

ステップ 2.5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.3.1

$0$ を $- 2$ で割ります。

$x^{3} + 2 = 0$

ステップ 2.5.5

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{3} = - 2$

ステップ 2.5.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{- 2}$

ステップ 2.5.7

$\sqrt[3]{- 2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.1

$- 2$ を ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.1.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

ステップ 2.5.7.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

ステップ 2.5.7.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

ステップ 2.5.7.3

$- 1 \sqrt[3]{2}$ を $- \sqrt[3]{2}$ に書き換えます。

$x = - \sqrt[3]{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{4}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = - \sqrt[3]{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- \sqrt[3]{2}$ を $x$ に代入します。

$2 (- \sqrt[3]{2}) - \frac{2}{{(- \sqrt[3]{2})}^{2}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{{(- \sqrt[3]{2})}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

積の法則を $- \sqrt[3]{2}$ に当てはめます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{{(- 1)}^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2.3

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ を $\sqrt[3]{2^{2}}$ に書き換えます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 \sqrt[3]{2^{2}}}$

ステップ 4.1.2.1.2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 \sqrt[3]{4}}$

ステップ 4.1.2.1.2.5

$\sqrt[3]{4}$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 4.1.2.1.3

$\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - (\frac{2}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

ステップ 4.1.2.1.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.1

$\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.4.2

$\sqrt[3]{4}$ を $1$ 乗します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

ステップ 4.1.2.1.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

ステップ 4.1.2.1.4.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ を $4$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 4.1.2.1.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 4.1.2.1.4.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 4.1.2.1.4.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 4.1.2.1.4.5.4.2

式を書き換えます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

ステップ 4.1.2.1.4.5.5

指数を求めます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.1.5

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.5.1

$2$ を $2 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ で因数分解します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 ({\sqrt[3]{4}}^{2})}{4}$

ステップ 4.1.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.6.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ を $\sqrt[3]{4^{2}}$ に書き換えます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.6.2

$4$ を $2$ 乗します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{16}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.6.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.6.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.6.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.6.4

累乗根の下から項を取り出します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.7.1

共通因数を約分します。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.7.2

$\sqrt[3]{2}$ を $1$ で割ります。

$- 2 \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}$

ステップ 4.1.2.2

$- 2 \sqrt[3]{2}$ から $\sqrt[3]{2}$ を引きます。

$- 3 \sqrt[3]{2}$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$2 (0) - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 (0) - \frac{2}{0}$

ステップ 4.2.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- \sqrt[3]{2}, - 3 \sqrt[3]{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例