微分積分例

$\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1 + t^{3}} d t$

ステップ 1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1^{3} + t^{3}} d t]$

ステップ 2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = t$ です。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

ステップ 3.2

$- 1 t$ を $- t$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

ステップ 4

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

ステップ 5.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{2 \cdot 2})}$

ステップ 5.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{4})}$

微分積分 例