微分積分例

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

ステップ 1

式 $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 1$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

まとめる。

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ステップ 5.1.1

$64 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{64 x^{2} x}{x} + \frac{128}{x} + 3$

ステップ 5.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{64 x^{2} x + 128}{x} + 3$

ステップ 5.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

$64$ を $64 x^{2} x + 128$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.3.1.1

$64$ を $64 x^{2} x$ で因数分解します。

$\frac{64 (x^{2} x) + 128}{x} + 3$

ステップ 5.1.3.1.2

$64$ を $128$ で因数分解します。

$\frac{64 (x^{2} x) + 64 \cdot 2}{x} + 3$

ステップ 5.1.3.1.3

$64$ を $64 (x^{2} x) + 64 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{64 (x^{2} x + 2)}{x} + 3$

ステップ 5.1.3.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.1.3.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 5.1.3.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{64 (x^{2} x^{1} + 2)}{x} + 3$

ステップ 5.1.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{64 (x^{2 + 1} + 2)}{x} + 3$

ステップ 5.1.3.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{64 (x^{3} + 2)}{x} + 3$

ステップ 5.1.4

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{64 (x^{3} + 2)}{x} + \frac{3 x}{x}$

ステップ 5.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{64 (x^{3} + 2) + 3 x}{x}$

ステップ 5.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{64 x^{3} + 64 \cdot 2 + 3 x}{x}$

ステップ 5.1.6.2

$64$ に $2$ をかけます。

$\frac{64 x^{3} + 128 + 3 x}{x}$

ステップ 5.1.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{64 x^{3} + 3 x + 128}{x}$

ステップ 5.1.7

簡約します。

$\frac{64 x^{3} + 3 x + 128}{x}$

ステップ 5.2

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$0$

$64 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$128$

ステップ 5.3

被除数 $64 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$64 x^{2}$
	$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$

ステップ 5.4

新しい商の項に除数を掛けます。

				$64 x^{2}$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			+	$64 x^{3}$	+	$0$

ステップ 5.5

式は被除数から引く必要があるので、 $64 x^{3} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$64 x^{2}$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$

ステップ 5.6

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$64 x^{2}$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$

ステップ 5.7

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$64 x^{2}$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$3 x$	+	$128$

ステップ 5.8

被除数 $3 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$64 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$3 x$	+	$128$

ステップ 5.9

新しい商の項に除数を掛けます。

				$64 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$3 x$	+	$128$
							+	$3 x$	+	$0$

ステップ 5.10

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x + 0$ の符号をすべて変更します。

				$64 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$3 x$	+	$128$
							-	$3 x$	-	$0$

ステップ 5.11

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$64 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$64 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$128$
			-	$64 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$3 x$	+	$128$
							-	$3 x$	-	$0$
									+	$128$

ステップ 5.12

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$64 x^{2} + 3 + \frac{128}{x}$

ステップ 5.13

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = 64 x^{2} + 3$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = 64 x^{2} + 3$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例