微分積分例

$2 x e^{- x^{2}}$

ステップ 1

$2 x e^{- x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 x e^{- x^{2}} d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int x e^{- x^{2}} d x$

ステップ 5

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$e^{- x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

ステップ 5.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 5.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 5.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x^{2}$ で置き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 5.1.3

微分します。

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ステップ 5.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

ステップ 5.1.4

簡約します。

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ステップ 5.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

ステップ 5.1.4.2

$- 2 e^{- x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

ステップ 5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$2 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$2 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$u_{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

ステップ 8.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{u_{2}}{2} + C$

ステップ 8.2.3

$- 2$ と $\frac{u_{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 u_{2}}{2} + C$

ステップ 8.2.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.4.1

$2$ を $- 2 u_{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- u_{2})}{2} + C$

ステップ 8.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- u_{2})}{2 (1)} + C$

ステップ 8.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

ステップ 8.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- u_{2}}{1} + C$

ステップ 8.2.4.2.4

$- u_{2}$ を $1$ で割ります。

$- u_{2} + C$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{- x^{2}}$ で置き換えます。

$- e^{- x^{2}} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- e^{- x^{2}} + C$

微分積分 例

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