微分積分例

$y = (x^{2} - 120) e^{x}$

ステップ 1

分配則を当てはめます。

$y = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

ステップ 2

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

ステップ 3

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

ステップ 3.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 120$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 120 e^{x}$ の微分係数は $- 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$

ステップ 3.4.2

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$

ステップ 4.1.1.2

$e^{x}$ を $2 x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x} = 0$

ステップ 4.1.1.3

$e^{x}$ を $- 120 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

ステップ 4.1.1.4

$e^{x}$ を $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ で因数分解します。

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

ステップ 4.1.1.5

$e^{x}$ を $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120$ で因数分解します。

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 120) = 0$

ステップ 4.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 120$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 120$ で、その和が $2$ です。

$- 10, 12$

ステップ 4.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$e^{x} ((x - 10) (x + 12)) = 0$

ステップ 4.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 12 = 0$

ステップ 4.3

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 4.3.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 4.3.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.3.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 4.4

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 4.5

$x + 12$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$x + 12$ が $0$ に等しいとします。

$x + 12 = 0$

ステップ 4.5.2

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$x = - 12$

ステップ 4.6

最終解は $e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 10, - 12$

ステップ 5

$x = 10$ における元の関数 $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $10$ で置換えます。

$f (10) = {(10)}^{2} e^{10} - 120 e^{10}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$10$ を $2$ 乗します。

$f (10) = 100 e^{10} - 120 e^{10}$

ステップ 5.2.2

$100 e^{10}$ から $120 e^{10}$ を引きます。

$f (10) = - 20 e^{10}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 20 e^{10}$ です。

$- 20 e^{10}$

ステップ 6

$x = - 12$ における元の関数 $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 12$ で置換えます。

$f (- 12) = {(- 12)}^{2} e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$f (- 12) = 144 e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

ステップ 6.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- 12) = 144 (\frac{1}{e^{12}}) - 120 e^{- 12}$

ステップ 6.2.1.3

$144$ と $\frac{1}{e^{12}}$ をまとめます。

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 e^{- 12}$

ステップ 6.2.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 \frac{1}{e^{12}}$

ステップ 6.2.1.5

$- 120$ と $\frac{1}{e^{12}}$ をまとめます。

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} + \frac{- 120}{e^{12}}$

ステップ 6.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - \frac{120}{e^{12}}$

ステップ 6.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- 12) = \frac{144 - 120}{e^{12}}$

ステップ 6.2.2.2

$144$ から $120$ を引きます。

$f (- 12) = \frac{24}{e^{12}}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $\frac{24}{e^{12}}$ です。

$\frac{24}{e^{12}}$

ステップ 7

関数 $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ の水平接線は $y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$ です。

$y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例