微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 81$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 81) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ を $x^{2} + 81$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 81) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 81$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$81$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $81$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.2

$2$ に $81$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2

$2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{162 x + 0}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2.2

$162 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ です。

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$162 x = 0$

ステップ 2.3

$162 x = 0$ の各項を $162$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$162 x = 0$ の各項を $162$ で割ります。

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$162$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{162}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $162$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = \frac{162 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$162$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{(1 + 81)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$1$ と $81$ をたし算します。

$f' (- 1) = \frac{- 162}{82^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$82$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = \frac{- 162}{6724}$

ステップ 5.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 162$ と $6724$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を $- 162$ で因数分解します。

$f' (- 1) = \frac{2 (- 81)}{6724}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$2$ を $6724$ で因数分解します。

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f' (- 1) = \frac{- 81}{3362}$

ステップ 5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 1) = - \frac{81}{3362}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- \frac{81}{3362}$ です。

$- \frac{81}{3362}$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $- \frac{81}{3362}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = \frac{162 (1)}{{({(1)}^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$162$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = \frac{162}{{(1^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = \frac{162}{{(1 + 81)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$1$ と $81$ をたし算します。

$f' (1) = \frac{162}{82^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$82$ を $2$ 乗します。

$f' (1) = \frac{162}{6724}$

ステップ 6.2.3

$162$ と $6724$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2$ を $162$ で因数分解します。

$f' (1) = \frac{2 (81)}{6724}$

ステップ 6.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$2$ を $6724$ で因数分解します。

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

ステップ 6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f' (1) = \frac{81}{3362}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{81}{3362}$ です。

$\frac{81}{3362}$

ステップ 6.3

$x = 1$ で微分係数は $\frac{81}{3362}$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(0, \infty)$ で増加

$(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例