微分積分例

$f (x) = 7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$7 \sqrt{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 \sqrt{2} \cos (x)$ の微分係数は $7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$7 \sqrt{2} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ に $7$ をかけます。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 \sin^{2} (x)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \cos (x))$

ステップ 1.1.3.4

$2$ に $7$ をかけます。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ です。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

$7 \sin (x)$ を $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$7 \sin (x)$ を $- 7 \sqrt{2} \sin (x)$ で因数分解します。

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.2

$7 \sin (x)$ を $14 \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

ステップ 2.2.3

$7 \sin (x)$ を $7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x))$ で因数分解します。

$7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.4

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 2.4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 2.4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.4.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.4.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $\sqrt{2}$ を足します。

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.2

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.5.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.6

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 2.5.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.6.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 2.5.2.6.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 2.5.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.5.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.6

最終解は $7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$7 \sqrt{2} \cos (0) + 7 \sin^{2} (0)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$7 \sqrt{2} \cdot 1 + 7 \sin^{2} (0)$

ステップ 4.1.2.1.2

$7$ に $1$ をかけます。

$7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

ステップ 4.1.2.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

ステップ 4.1.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.5

$7$ に $0$ をかけます。

$7 \sqrt{2} + 0$

ステップ 4.1.2.2

$7 \sqrt{2}$ と $0$ をたし算します。

$7 \sqrt{2}$

ステップ 4.2

$x = π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$π$ を $x$ に代入します。

$7 \sqrt{2} \cos (π) + 7 \sin^{2} (π)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$7 \sqrt{2} (- \cos (0)) + 7 \sin^{2} (π)$

ステップ 4.2.2.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$7 \sqrt{2} (- 1 \cdot 1) + 7 \sin^{2} (π)$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 \sqrt{2} \cdot - 1 + 7 \sin^{2} (π)$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 1$ に $7$ をかけます。

$- 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (π)$

ステップ 4.2.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

ステップ 4.2.2.1.6

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

ステップ 4.2.2.1.8

$7$ に $0$ をかけます。

$- 7 \sqrt{2} + 0$

ステップ 4.2.2.2

$- 7 \sqrt{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 7 \sqrt{2}$

ステップ 4.3

$x = \frac{π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.2

$7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ と $7$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2} \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.2.2

$\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \cdot 7 \sqrt{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.2.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{7 \cdot 2^{1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.4

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{14}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.5

$14$ を $2$ で割ります。

$7 + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$7 + 7 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.7

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$7 + 7 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4.3.2.1.8

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$7 + 7 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4.3.2.1.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$7 + 7 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 4.3.2.1.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$7 + 7 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 4.3.2.1.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.8.4.1

共通因数を約分します。

$7 + 7 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 4.3.2.1.8.4.2

式を書き換えます。

$7 + 7 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

ステップ 4.3.2.1.8.5

指数を求めます。

$7 + 7 \frac{2}{2^{2}}$

ステップ 4.3.2.1.9

$2$ を $2$ 乗します。

$7 + 7 (\frac{2}{4})$

ステップ 4.3.2.1.10

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.10.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$7 + 7 \frac{2 (1)}{4}$

ステップ 4.3.2.1.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.10.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$7 + 7 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2.1.10.2.2

共通因数を約分します。

$7 + 7 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2.1.10.2.3

式を書き換えます。

$7 + 7 (\frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.1.11

$7$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$7 + \frac{7}{2}$

ステップ 4.3.2.2

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

ステップ 4.3.2.3

$7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

ステップ 4.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 \cdot 2 + 7}{2}$

ステップ 4.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{14 + 7}{2}$

ステップ 4.3.2.5.2

$14$ と $7$ をたし算します。

$\frac{21}{2}$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0 + 2 π n, 7 \sqrt{2}), (π + 2 π n, - 7 \sqrt{2}), (\frac{π}{4} + 2 π n, \frac{21}{2})$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例