微分積分例

$\sin (\frac{x}{2})$

ステップ 1

$\sin (\frac{x}{2})$ を関数で書きます。

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 2.1.1.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 2.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 2.1.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ と $\cos (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

ステップ 2.1.1.2.4

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 2.1.2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 2.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 2.1.2.3

微分します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 2.1.2.3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.3.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.1.2.3.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.2.3.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

ステップ 2.1.2.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ です。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.2.3.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

ステップ 2.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{x}{2} = 0$

ステップ 2.2.3.3

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 2.2.3.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = π - 0$

ステップ 2.2.3.5

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.3.5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

ステップ 2.2.3.5.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.5.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

ステップ 2.2.3.5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (π - 0)$

ステップ 2.2.3.5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.5.2.2.1

$π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 2.2.3.6

$\sin (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 2.2.3.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.2.3.6.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.2.3.6.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 2.2.3.6.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 2.2.3.7

$\sin (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.2.4

答えをまとめます。

$x = 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

ステップ 5.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

ステップ 5.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

ステップ 5.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

ステップ 5.2.1.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

ステップ 5.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

ステップ 5.2.3

$0$ を $4$ で割ります。

$f'' (0) = - 0$

ステップ 5.2.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

微分積分 例

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