微分積分例

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 2^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ です。

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

ステップ 1.3

項を並べ替えます。

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

ステップ 1.4

$x = 3$ で微分係数を求めます。

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

ステップ 1.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

ステップ 1.5.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

ステップ 1.5.3

対数の中の $8$ を移動させて $- 8 \ln (2)$ を簡約します。

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

ステップ 1.5.4

$2$ を $8$ 乗します。

$- \ln (256) + 2 (3)$

ステップ 1.5.5

$2$ に $3$ をかけます。

$- \ln (256) + 6$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \ln (256) + 6$ と与えられた点 $(3, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 2.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.4.1.1

$- \ln (256) \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.4.1.1.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4.1.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (256)$ を簡約します。

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4.1.2

$256$ を $3$ 乗します。

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4.1.3

$6$ に $- 3$ をかけます。

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

ステップ 2.3.1.4.2

$- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ の因数を並べ替えます。

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

ステップ 2.3.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

ステップ 2.3.3

$1$ から $18$ を引きます。

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

ステップ 2.3.4

方程式を $- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ として書き換えます。

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

ステップ 2.3.5

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.5.1

方程式の両辺から $6 x$ を引きます。

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

ステップ 2.3.5.2

方程式の両辺に $17$ を足します。

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

ステップ 2.3.6

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

ステップ 2.3.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

ステップ 2.3.6.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

ステップ 2.3.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.6.3.1.1

$\frac{x \ln (256)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

ステップ 2.3.6.3.1.2

$- 1 \cdot (x \ln (256))$ を $- (x \ln (256))$ に書き換えます。

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

ステップ 2.3.6.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

ステップ 2.3.6.3.1.4

$\ln (16777216)$ を $1$ で割ります。

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

ステップ 2.3.6.3.1.5

$\frac{- 6 x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

ステップ 2.3.6.3.1.6

$- 1 \cdot (- 6 x)$ を $- (- 6 x)$ に書き換えます。

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

ステップ 2.3.6.3.1.7

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

ステップ 2.3.6.3.1.8

$17$ を $- 1$ で割ります。

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

ステップ 2.3.7

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.7.1

$\ln (16777216)$ を移動させます。

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

ステップ 2.3.7.2

$x$ を $- x \ln (256)$ で因数分解します。

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

ステップ 2.3.7.3

$x$ を $6 x$ で因数分解します。

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

ステップ 2.3.7.4

$x$ を $x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ で因数分解します。

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

ステップ 2.3.7.5

$x$ と $- 1 \ln (256) + 6$ を並べ替えます。

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例