微分積分例

$x^{3} \sqrt{x}$

ステップ 1

$x^{3} \sqrt{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} \sqrt{x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{3 + \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.2.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}} d x$

ステップ 4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\int x^{\frac{6 + 1}{2}} d x$

ステップ 4.2.5.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$\int x^{\frac{7}{2}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{7}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ です。

$\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

ステップ 6

答えは関数 $f (x) = x^{3} \sqrt{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

微分積分 例