微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x + 1)}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

ステップ 1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

ステップ 1.3

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 3.7

$\frac{1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 3.8

$x$ に関する $\log_{2} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (2)}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} (x \ln (2))$

ステップ 5

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ と $\frac{1}{x + 1}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1} \ln (2)$

ステップ 5.2

$\frac{x}{x + 1}$ と $\ln (2)$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (2)}{x + 1}$

ステップ 6

$\ln (2)$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}$

ステップ 7

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

ステップ 8

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

ステップ 8.1.2

式を書き換えます。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

ステップ 8.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

ステップ 8.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\ln (2) \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

ステップ 8.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

ステップ 8.5

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 8.6

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\ln (2) \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 9

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\ln (2) \frac{1}{1 + 0}$

ステップ 10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\ln (2) \frac{1}{1}$

ステップ 10.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (2) \frac{1}{1}$

ステップ 10.2.2

式を書き換えます。

$\ln (2) \cdot 1$

ステップ 10.3

$\ln (2)$ に $1$ をかけます。

$\ln (2)$

微分積分 例

微分積分例