微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + x)}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{3 x} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{3 x} + x$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{3 x} + x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $e^{3 x} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.7

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.8

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.10.2

$3 e^{3 x} + 1$ に $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{1}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} \cdot 1$

ステップ 5

$\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$

ステップ 6

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

ステップ 6.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

ステップ 6.1.2.2

関数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $3$ 倍 $\infty$ に近づきます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.2.1

定数の倍数 $3$ を削除した極限を考えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

ステップ 6.1.2.2.2

指数 $3 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

ステップ 6.1.2.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

ステップ 6.1.2.4

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

ステップ 6.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 6.1.3.2

指数 $3 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 6.1.3.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

ステップ 6.1.3.4

無限大プラス無限大は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 6.1.3.5

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 6.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.2

総和則では、 $3 e^{3 x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.3

$\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{3 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.3.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.3.7

$3$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.5

$9 e^{3 x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

ステップ 6.3.6

総和則では、 $e^{3 x} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.7

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.7.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.7.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.7.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.7.4

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.7.5

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

ステップ 7

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

ステップ 8

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$9 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

ステップ 8.1.2

指数 $3 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

ステップ 8.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 8.1.3.2

関数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $3$ 倍 $\infty$ に近づきます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.3.2.1

定数の倍数 $3$ を削除した極限を考えます。

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 8.1.3.2.2

指数 $3 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$9 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 8.1.3.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$9 \frac{\infty}{\infty + 1}$

ステップ 8.1.3.4

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$9 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 8.1.3.5

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$9 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 8.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$9 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 8.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

ステップ 8.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分母と分子を微分します。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

ステップ 8.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

ステップ 8.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

ステップ 8.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

ステップ 8.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

ステップ 8.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

ステップ 8.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

ステップ 8.3.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

ステップ 8.3.7

総和則では、 $3 e^{3 x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 8.3.8

$\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.8.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{3 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 8.3.8.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.8.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 8.3.8.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 8.3.8.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 8.3.8.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 8.3.8.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 8.3.8.5

$3$ に $1$ をかけます。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 8.3.8.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 8.3.8.7

$3$ に $3$ をかけます。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 8.3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + 0}$

ステップ 8.3.10

$9 e^{3 x}$ と $0$ をたし算します。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$

ステップ 8.4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$3$ を $3 e^{3 x}$ で因数分解します。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{9 e^{3 x}}$

ステップ 8.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.2.1

$3$ を $9 e^{3 x}$ で因数分解します。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

ステップ 8.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

ステップ 8.4.1.2.3

式を書き換えます。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

ステップ 8.4.2

$e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

共通因数を約分します。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

ステップ 8.4.2.2

式を書き換えます。

$9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$

ステップ 9

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $\frac{1}{3}$ の極限値を求めます。

$9 (\frac{1}{3})$

ステップ 9.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$3 (3) \frac{1}{3}$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 3 \frac{1}{3}$

ステップ 9.2.3

式を書き換えます。

$3$

微分積分 例

微分積分例