微分積分例

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

ステップ 1

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x + 9$ および $g (x) = x^{2} - 81$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.2

$x^{2} - 81$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

総和則では、 $x^{2} - 81$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ です。

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.7

$- 81$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 81$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2

$- 2$ に $9$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5

群による因数分解。

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ステップ 2.1.3.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ で和が $b = - 18$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.3.5.1.1

$- 18$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.1.2

$- 18$ を $- 9$ プラス $- 9$ に書き換える

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.3.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.3

最大公約数 $- x - 9$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.3.6.1

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 9$ です。

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6.3

積の法則を $(x + 9) (x - 9)$ に当てはめます。

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.3.7.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7.2

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (9)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7.4

$- (x + 9)$ を $- 1 (x + 9)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7.5

$x + 9$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7.6

$x + 9$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.8

${(x + 9)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.8.2

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ を ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.2

${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 9$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 9$ で置き換えます。

$- (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4

微分します。

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ステップ 2.2.4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.2

総和則では、 $x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$2 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.4

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.4.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.7.1

$\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$2 {(x - 9)}^{- 3} + 0$

ステップ 2.2.4.7.2

$2 {(x - 9)}^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$2 {(x - 9)}^{- 3}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 \frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 2.2.5.2

$2$ と $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$ です。

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 3.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 4

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

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