微分積分例

$\frac{x + 2}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

$\frac{x + 2}{x^{2} - 4}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 4) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.4.2

$x^{2} - 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.5

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{x^{2} - 4 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 4 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.7

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} - 4 - (x + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 4 - (x + 2) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - 2 (x + 2) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 + (- 2 x - 2 \cdot 2) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.3.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.3.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} - 4 - 4 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} - 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.2

$- 4$ を $- 2$ プラス $- 2$ に書き換える

$\frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.5.3

最大公約数 $- x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.6

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.1.3.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.6.3

積の法則を $(x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.7.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.7.2

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x + 2)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.7.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.7.4

$- (x + 2)$ を $- 1 (x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.7.5

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.7.6

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.7.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.7.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.8

${(x + 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.8.2

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ を ${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 2)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.2.2

${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$- (- 2 {(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 ({(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.4.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$2 {(x - 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 {(x - 2)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.4.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$2 {(x - 2)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 {(x - 2)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 {(x - 2)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.4.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 {(x - 2)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.1.2.4.7

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.7.1

$\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$2 {(x - 2)}^{- 3} + 0$

ステップ 2.1.2.4.7.2

$2 {(x - 2)}^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$2 {(x - 2)}^{- 3}$

ステップ 2.1.2.5

簡約します。

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ステップ 2.1.2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 \frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.5.2

$2$ と $\frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$ です。

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 2.2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{x + 2}{x^{2} - 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 3.2.3

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 3.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2, - 2}$

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2, - 2}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = \frac{2}{{((- 4) - 2)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 4$ から $2$ を引きます。

$f'' (- 4) = \frac{2}{{(- 6)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 6$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{2}{- 216}$

ステップ 5.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2$ と $- 216$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (- 4) = \frac{2 (1)}{- 216}$

ステップ 5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

$2$ を $- 216$ で因数分解します。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 108}$

ステップ 5.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 108}$

ステップ 5.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 4) = \frac{1}{- 108}$

ステップ 5.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 4) = - \frac{1}{108}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{108}$ です。

$- \frac{1}{108}$

ステップ 5.3

$f'' (- 4)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 2)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 2, 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 2)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ から $2$ を引きます。

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{2}{- 8}$

ステップ 6.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2$ と $- 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{2 (1)}{- 8}$

ステップ 6.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

ステップ 6.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

ステップ 6.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{1}{- 4}$

ステップ 6.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0) = - \frac{1}{4}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{4}$ です。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 6.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- 2, 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 2, 2)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(2, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = \frac{2}{{((4) - 2)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$4$ から $2$ を引きます。

$f'' (4) = \frac{2}{2^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{2}{8}$

ステップ 7.2.2

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (4) = \frac{2 (1)}{8}$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (4) = \frac{1}{4}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 7.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(2, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 2, 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例