微分積分例

$(x^{2} + 12) (144 - x^{2})$

ステップ 1

$(x^{2} + 12) (144 - x^{2})$ を関数で書きます。

$f (x) = (x^{2} + 12) (144 - x^{2})$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{2} + 12$ および $g (x) = 144 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [144 - x^{2}] + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $144 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$(x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

ステップ 2.1.2.2

$144$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $144$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + 12) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

ステップ 2.1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$(x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

ステップ 2.1.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(x^{2} + 12) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

ステップ 2.1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 12) (- (2 x)) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

ステップ 2.1.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]$

ステップ 2.1.2.7

総和則では、 $x^{2} + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])$

ステップ 2.1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [12])$

ステップ 2.1.2.9

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (2 x + 0)$

ステップ 2.1.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + (144 - x^{2}) (2 x)$

ステップ 2.1.2.10.2

$2$ を $144 - x^{2}$ の左に移動させます。

$(x^{2} + 12) (- 2 x) + 2 \cdot (144 - x^{2}) x$

ステップ 2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 (144 - x^{2}) x$

ステップ 2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + (2 \cdot 144 + 2 (- x^{2})) x$

ステップ 2.1.3.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

ステップ 2.1.3.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.4.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.4.1.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

ステップ 2.1.3.4.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.4.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

ステップ 2.1.3.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

ステップ 2.1.3.4.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{3} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

ステップ 2.1.3.4.2

$- 2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot x^{3} + 12 (- 2 x) + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

ステップ 2.1.3.4.3

$- 2$ に $12$ をかけます。

$- 2 x^{3} - 24 x + 2 \cdot 144 x + 2 (- x^{2}) x$

ステップ 2.1.3.4.4

$2$ に $144$ をかけます。

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x + 2 (- x^{2}) x$

ステップ 2.1.3.4.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 x^{2} x$

ステップ 2.1.3.4.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 (x^{1} x^{2})$

ステップ 2.1.3.4.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 x^{1 + 2}$

ステップ 2.1.3.4.8

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 2 x^{3} - 24 x + 288 x - 2 x^{3}$

ステップ 2.1.3.4.9

$- 24 x$ と $288 x$ をたし算します。

$- 2 x^{3} + 264 x - 2 x^{3}$

ステップ 2.1.3.4.10

$- 2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 264 x$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 4 x^{3} + 264 x$ です。

$- 4 x^{3} + 264 x$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 x^{3} + 264 x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 x^{3} + 264 x = 0$

ステップ 3.2

$- 4 x$ を $- 4 x^{3} + 264 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 4 x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$- 4 x \cdot x^{2} + 264 x = 0$

ステップ 3.2.2

$- 4 x$ を $264 x$ で因数分解します。

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 66 = 0$

ステップ 3.2.3

$- 4 x$ を $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 66)$ で因数分解します。

$- 4 x (x^{2} - 66) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 66 = 0$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.5

$x^{2} - 66$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x^{2} - 66$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 66 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $x^{2} - 66 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $66$ を足します。

$x^{2} = 66$

ステップ 3.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{66}$

ステップ 3.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{66}$

ステップ 3.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{66}$

ステップ 3.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{66}, - \sqrt{66}$

ステップ 3.6

最終解は $- 4 x (x^{2} - 66) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{66}, - \sqrt{66}$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, \sqrt{66}, - \sqrt{66}$ です。

$0, \sqrt{66}, - \sqrt{66}$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \sqrt{66}) \cup (- \sqrt{66}, 0) \cup (0, \sqrt{66}) \cup (\sqrt{66}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \sqrt{66})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 9.124039$ で置換えます。

$f' (- 9.124039) = - 4 {(- 9.124039)}^{3} + 264 (- 9.124039)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 9.124039$ を $3$ 乗します。

$f' (- 9.124039) = - 4 \cdot - 759.5587986 + 264 (- 9.124039)$

ステップ 6.2.1.2

$- 4$ に $- 759.5587986$ をかけます。

$f' (- 9.124039) = 3038.23519443 + 264 (- 9.124039)$

ステップ 6.2.1.3

$264$ に $- 9.124039$ をかけます。

$f' (- 9.124039) = 3038.23519443 - 2408.746296$

ステップ 6.2.2

$3038.23519443$ から $2408.746296$ を引きます。

$f' (- 9.124039) = 629.48889843$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $629.48889843$ です。

$629.48889843$

ステップ 6.3

$x = - 9.124039$ で微分係数は $629.48889843$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - \sqrt{66})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \sqrt{66})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 8.124039, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 4.0620195$ で置換えます。

$f' (- 4.0620195) = - 4 {(- 4.0620195)}^{3} + 264 (- 4.0620195)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 4.0620195$ を $3$ 乗します。

$f' (- 4.0620195) = - 4 \cdot - 67.02333157 + 264 (- 4.0620195)$

ステップ 7.2.1.2

$- 4$ に $- 67.02333157$ をかけます。

$f' (- 4.0620195) = 268.09332629 + 264 (- 4.0620195)$

ステップ 7.2.1.3

$264$ に $- 4.0620195$ をかけます。

$f' (- 4.0620195) = 268.09332629 - 1072.373148$

ステップ 7.2.2

$268.09332629$ から $1072.373148$ を引きます。

$f' (- 4.0620195) = - 804.2798217$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 804.2798217$ です。

$- 804.2798217$

ステップ 7.3

$x = - 4.0620195$ で微分係数は $- 804.2798217$ です。これは負の値なので、関数は $(- 8.124039, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \sqrt{66}, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, \sqrt{66})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4.0620195$ で置換えます。

$f' (4.0620195) = - 4 {(4.0620195)}^{3} + 264 (4.0620195)$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$4.0620195$ を $3$ 乗します。

$f' (4.0620195) = - 4 \cdot 67.02333157 + 264 (4.0620195)$

ステップ 8.2.1.2

$- 4$ に $67.02333157$ をかけます。

$f' (4.0620195) = - 268.09332629 + 264 (4.0620195)$

ステップ 8.2.1.3

$264$ に $4.0620195$ をかけます。

$f' (4.0620195) = - 268.09332629 + 1072.373148$

ステップ 8.2.2

$- 268.09332629$ と $1072.373148$ をたし算します。

$f' (4.0620195) = 804.2798217$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $804.2798217$ です。

$804.2798217$

ステップ 8.3

$x = 4.0620195$ で微分係数は $804.2798217$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \sqrt{66})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \sqrt{66})$ で増加

ステップ 9

区間 $(\sqrt{66}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $9.124039$ で置換えます。

$f' (9.124039) = - 4 {(9.124039)}^{3} + 264 (9.124039)$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$9.124039$ を $3$ 乗します。

$f' (9.124039) = - 4 \cdot 759.5587986 + 264 (9.124039)$

ステップ 9.2.1.2

$- 4$ に $759.5587986$ をかけます。

$f' (9.124039) = - 3038.23519443 + 264 (9.124039)$

ステップ 9.2.1.3

$264$ に $9.124039$ をかけます。

$f' (9.124039) = - 3038.23519443 + 2408.746296$

ステップ 9.2.2

$- 3038.23519443$ と $2408.746296$ をたし算します。

$f' (9.124039) = - 629.48889843$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $- 629.48889843$ です。

$- 629.48889843$

ステップ 9.3

$x = 9.124039$ で微分係数は $- 629.48889843$ です。これは負の値なので、関数は $(\sqrt{66}, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\sqrt{66}, \infty)$ で減少

ステップ 10

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - \sqrt{66}), (0, \sqrt{66})$ で増加

$(- \sqrt{66}, 0), (\sqrt{66}, \infty)$ で減少

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例