微分積分例

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

ステップ 1

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x}) d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{x} + e^{- x} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int e^{x} d x + \int e^{- x} d x)$

ステップ 6

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{x} + C + \int e^{- x} d x)$

ステップ 7

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 7.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (e^{x} + C + \int - e^{u} d u)$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (e^{x} + C - \int e^{u} d u)$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{x} + C - (e^{u} + C))$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{u}) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + C$

ステップ 12.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + C$

ステップ 12.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{- x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} + C$

微分積分 例

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