微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

ステップ 1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

ステップ 3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

ステップ 3.4

$6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $15 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

ステップ 3.6

$\frac{d}{d x} [15 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

ステップ 3.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

ステップ 3.6.3

$15$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

ステップ 3.7

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + 0}$

ステップ 3.8

$15$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15}$

ステップ 4

$6$ と $15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (2)}{15}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{5}$

ステップ 5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $\frac{2}{5}$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{5}$

微分積分 例

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