微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

ステップ 1.2

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $3$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 1.2.1

定数の倍数 $3$ を削除した極限を考えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

ステップ 1.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

ステップ 1.3.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

ステップ 1.3.2

関数 $e^{5 x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $2$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 1.3.2.1

定数の倍数 $2$ を削除した極限を考えます。

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

ステップ 1.3.2.2

指数 $5 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{5 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{9 + \infty}$

ステップ 1.3.3

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.3.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

ステップ 3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

ステップ 3.4

総和則では、 $9 + 2 e^{5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

ステップ 3.5

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

ステップ 3.6

$\frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{5 x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

ステップ 3.6.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.6.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

ステップ 3.6.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}$

ステップ 3.6.2.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

ステップ 3.6.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

ステップ 3.6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

ステップ 3.6.5

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \cdot 5)}$

ステップ 3.6.6

$5$ を $e^{5 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (5 e^{5 x})}$

ステップ 3.6.7

$5$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 10 e^{5 x}}$

ステップ 3.7

$0$ と $10 e^{5 x}$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{10 e^{5 x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$e^{x}$ と $e^{5 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$e^{5 x}$ を $3 e^{x}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{10 e^{5 x}}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1

$e^{5 x}$ を $10 e^{5 x}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

ステップ 4.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

ステップ 4.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{- 4 x}}{10}$

ステップ 4.2

$\frac{3}{10}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{10} lim_{x \to \infty} e^{- 4 x}$

ステップ 5

指数 $- 4 x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- 4 x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{3}{10} \cdot 0$

ステップ 6

$\frac{3}{10}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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