微分積分例

$\sum_{j = 1}^{4} {(2 i j + 8 j)}^{2}$

ステップ 1

総和を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(2 i j + 8 j)}^{2}$ を $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ に書き換えます。

$(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 i j (2 i j + 8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 i \cdot 2 i j \cdot j + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.2

指数を足して $j$ に $j$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

$j$ を移動させます。

$2 i \cdot 2 i (j \cdot j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.2.2

$j$ に $j$ をかけます。

$2 i \cdot 2 i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 i i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.4

$4 i i$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.4.1

$i$ を $1$ 乗します。

$4 (i^{1} i) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.4.2

$i$ を $1$ 乗します。

$4 (i^{1} i^{1}) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 i^{1 + 1} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 i^{2} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j \cdot j + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.6

指数を足して $j$ に $j$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.1

$j$ を移動させます。

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 (j \cdot j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.6.2

$j$ に $j$ をかけます。

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.7

$8$ に $2$ をかけます。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j \cdot j + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.9

指数を足して $j$ に $j$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.9.1

$j$ を移動させます。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i (j \cdot j) + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.9.2

$j$ に $j$ をかけます。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j^{2} + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.10

$8$ に $2$ をかけます。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (8 j)$

ステップ 1.3.1.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j \cdot j$

ステップ 1.3.1.12

指数を足して $j$ に $j$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.12.1

$j$ を移動させます。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 (j \cdot j)$

ステップ 1.3.1.12.2

$j$ に $j$ をかけます。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j^{2}$

ステップ 1.3.1.13

$8$ に $8$ をかけます。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 64 j^{2}$

ステップ 1.3.2

$16 i j^{2}$ と $16 i j^{2}$ をたし算します。

$4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$

ステップ 1.4

$4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$ の因数を並べ替えます。

$4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

ステップ 1.5

総和を書き換えます。

$\sum_{j = 1}^{4} 4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

ステップ 2

$j$ の各値の級数を展開します。

$4 \cdot 1^{2} i^{2} + 32 \cdot 1^{2} i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 2^{2} i^{2} + 32 \cdot 2^{2} i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 3^{2} i^{2} + 32 \cdot 3^{2} i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 4^{2} i^{2} + 32 \cdot 4^{2} i + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3

値を戻し入れ、 $4 \cdot (1^{2} i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \cdot (1 i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.2

$i^{2}$ に $1$ をかけます。

$4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.3

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$4 \cdot - 1 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$- 4 + 32 \cdot (1 i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.6

$i$ に $1$ をかけます。

$- 4 + 32 \cdot i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$- 4 + 32 i + 64 \cdot 1 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.8

$64$ に $1$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.9

$2$ を $2$ 乗します。

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.10

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 \cdot - 1) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.11

$4 (4 \cdot - 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.11.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot - 4 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.11.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.12

$2$ を $2$ 乗します。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (4 i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.13

$4$ に $32$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.14

$2$ を $2$ 乗します。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 4 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.15

$64$ に $4$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.16

$3$ を $2$ 乗します。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.17

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 \cdot - 1) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.18

$4 (9 \cdot - 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.18.1

$9$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot - 9 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.18.2

$4$ に $- 9$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.19

$3$ を $2$ 乗します。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (9 i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.20

$9$ に $32$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.21

$3$ を $2$ 乗します。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 9 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.22

$64$ に $9$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.23

指数を足して $4$ に $4^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.23.1

$4^{2}$ を移動させます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.23.2

$4^{2}$ に $4$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.23.2.1

$4$ を $1$ 乗します。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4^{1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.23.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2 + 1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.23.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{3} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.24

$4$ を $3$ 乗します。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.25

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot - 1 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.26

$64$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.27

$4$ を $2$ 乗します。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (16 i) + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.28

$16$ に $32$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 4^{2}$

ステップ 3.1.29

$4$ を $2$ 乗します。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 16$

ステップ 3.1.30

$64$ に $16$ をかけます。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

ステップ 3.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 4$ と $64$ をたし算します。

$60 + 32 i - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

ステップ 3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$60$ から $16$ を引きます。

$44 + 32 i + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

ステップ 3.2.2.2

$44$ と $256$ をたし算します。

$300 + 32 i + 128 i - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

ステップ 3.2.2.3

$300$ から $36$ を引きます。

$264 + 32 i + 128 i + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

ステップ 3.2.2.4

$264$ と $576$ をたし算します。

$840 + 32 i + 128 i + 288 i - 64 + 512 i + 1024$

ステップ 3.2.2.5

$840$ から $64$ を引きます。

$776 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i + 1024$

ステップ 3.2.2.6

$776$ と $1024$ をたし算します。

$1800 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i$

ステップ 3.2.3

$32 i$ と $128 i$ をたし算します。

$1800 + 160 i + 288 i + 512 i$

ステップ 3.2.4

$160 i$ と $288 i$ をたし算します。

$1800 + 448 i + 512 i$

ステップ 3.2.5

$448 i$ と $512 i$ をたし算します。

$1800 + 960 i$

微分積分 例

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