微分積分例

$y = 3 x \ln (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x \ln (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.2

式を書き換えます。

$3 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 1.4.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$3 (1 + \ln (x))$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$3 \cdot 1 + 3 \ln (x)$

ステップ 1.5.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + 3 \ln (x)$

ステップ 1.5.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 3 \ln (x) + 3$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 \ln (x) + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \ln (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.3

$3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{x} + 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{3}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{3}{x}$

微分積分 例

微分積分例