微分積分例

$f (x) = 9 x^{3} - 18 x^{2} + 9 x + 4$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $9 x^{3} - 18 x^{2} + 9 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{3}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $9$ をかけます。

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x^{2}$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$27 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$27 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 18$ をかけます。

$27 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [9 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$27 x^{2} - 36 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$27 x^{2} - 36 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.4.3

$9$ に $1$ をかけます。

$27 x^{2} - 36 x + 9 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$27 x^{2} - 36 x + 9 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$27 x^{2} - 36 x + 9$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 27 x^{2} - 36 x + 9$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $27 x^{2} - 36 x + 9$ です。

$27 x^{2} - 36 x + 9$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $27 x^{2} - 36 x + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$27 x^{2} - 36 x + 9 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$9$ を $27 x^{2} - 36 x + 9$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$9$ を $27 x^{2}$ で因数分解します。

$9 (3 x^{2}) - 36 x + 9 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$9$ を $- 36 x$ で因数分解します。

$9 (3 x^{2}) + 9 (- 4 x) + 9 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$9$ を $9$ で因数分解します。

$9 (3 x^{2}) + 9 (- 4 x) + 9 (1) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$9$ を $9 (3 x^{2}) + 9 (- 4 x)$ で因数分解します。

$9 (3 x^{2} - 4 x) + 9 (1) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$9$ を $9 (3 x^{2} - 4 x) + 9 (1)$ で因数分解します。

$9 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$9 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$- 4$ を $- 1$ プラス $- 3$ に書き換える

$9 (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$9 (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$9 ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$9 (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$9 ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$9 (3 x - 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 2.4.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

最終解は $9 (3 x - 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{3}, 1$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{1}{3}, 1$ です。

$\frac{1}{3}, 1$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{1}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.\overline{6}$ で置換えます。

$f' (- 0.\overline{6}) = 27 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 36 \cdot - 0.\overline{6} + 9$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 0.\overline{6}$ を $2$ 乗します。

$f' (- 0.\overline{6}) = 27 \cdot 0.44444443 - 36 \cdot - 0.\overline{6} + 9$

ステップ 5.2.1.2

$27$ に $0.44444443$ をかけます。

$f' (- 0.\overline{6}) = 11.99999976 - 36 \cdot - 0.\overline{6} + 9$

ステップ 5.2.1.3

$- 36$ に $- 0.\overline{6}$ をかけます。

$f' (- 0.\overline{6}) = 11.99999976 + 23.99999976 + 9$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$11.99999976$ と $23.99999976$ をたし算します。

$f' (- 0.\overline{6}) = 35.99999952 + 9$

ステップ 5.2.2.2

$35.99999952$ と $9$ をたし算します。

$f' (- 0.\overline{6}) = 44.99999952$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $44.99999952$ です。

$44.99999952$

ステップ 5.3

$x = - 0.\overline{6}$ で微分係数は $44.99999952$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, \frac{1}{3})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, \frac{1}{3})$ で増加

ステップ 6

区間 $(0.\overline{3}, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.\overline{6}$ で置換えます。

$f' (0.\overline{6}) = 27 {(0.\overline{6})}^{2} - 36 \cdot 0.\overline{6} + 9$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0.\overline{6}$ を $2$ 乗します。

$f' (0.\overline{6}) = 27 \cdot 0.44444444 - 36 \cdot 0.\overline{6} + 9$

ステップ 6.2.1.2

$27$ に $0.44444444$ をかけます。

$f' (0.\overline{6}) = 12.00000012 - 36 \cdot 0.\overline{6} + 9$

ステップ 6.2.1.3

$- 36$ に $0.\overline{6}$ をかけます。

$f' (0.\overline{6}) = 12.00000012 - 24.00000012 + 9$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$12.00000012$ から $24.00000012$ を引きます。

$f' (0.\overline{6}) = - 12 + 9$

ステップ 6.2.2.2

$- 12$ と $9$ をたし算します。

$f' (0.\overline{6}) = - 3$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 6.3

$x = 0.\overline{6}$ で微分係数は $- 3$ です。これは負の値なので、関数は $(0.\overline{3}, 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{1}{3}, 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 9$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = 27 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 9$

ステップ 7.2.1.2

$27$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = 108 - 36 \cdot 2 + 9$

ステップ 7.2.1.3

$- 36$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = 108 - 72 + 9$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$108$ から $72$ を引きます。

$f' (2) = 36 + 9$

ステップ 7.2.2.2

$36$ と $9$ をたし算します。

$f' (2) = 45$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $45$ です。

$45$

ステップ 7.3

$x = 2$ で微分係数は $45$ です。これは正の値なので、関数は $(1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, \frac{1}{3}), (1, \infty)$ で増加

$(\frac{1}{3}, 1)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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