微分積分例

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ が連続関数か確認します。

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ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[0, π]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 3.1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.1.3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 3.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

ステップ 3.1.3.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ です。

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

ステップ 4

微分係数が $(0, π)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(0, π)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(0, π)$ で連続なので、関数は $(0, π)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[0, π]$ で連続し、 $(0, π)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[0, π]$ で連続し、 $(0, π)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[0, π]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

ステップ 7.2.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

ステップ 7.2.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + \sin (0)$

ステップ 7.2.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 7.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 8

$x$ について $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ です。

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ステップ 8.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

分配則を当てはめます。

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

ステップ 8.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

ステップ 8.2.1.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

ステップ 8.3.1.1.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

ステップ 8.3.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.3.1.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

ステップ 8.3.1.2.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

ステップ 8.3.1.3

$0$ を $π$ で割ります。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 8.4

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 8.4.1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $- 4 \sin^{2} (x)$ を $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ で置き換えます。

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 8.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1

分配則を当てはめます。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 8.4.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 8.4.2.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 8.4.3

$2$ から $4$ を引きます。

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 8.4.4

多項式を並べ替えます。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

ステップ 8.4.5

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

ステップ 8.4.6

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.4.6.1

$2$ を $4 u^{2} + 2 u - 2$ で因数分解します。

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ステップ 8.4.6.1.1

$2$ を $4 u^{2}$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

ステップ 8.4.6.1.2

$2$ を $2 u$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

ステップ 8.4.6.1.3

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

ステップ 8.4.6.1.4

$2$ を $2 (2 u^{2}) + 2 u$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

ステップ 8.4.6.1.5

$2$ を $2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

ステップ 8.4.6.2

因数分解。

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ステップ 8.4.6.2.1

群による因数分解。

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ステップ 8.4.6.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 8.4.6.2.1.1.1

$1$ を掛けます。

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

ステップ 8.4.6.2.1.1.2

$1$ を $- 1$ プラス $2$ に書き換える

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

ステップ 8.4.6.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

ステップ 8.4.6.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.4.6.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

ステップ 8.4.6.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

ステップ 8.4.6.2.1.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

ステップ 8.4.6.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

ステップ 8.4.7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 8.4.8

$2 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 8.4.8.1

$2 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u - 1 = 0$

ステップ 8.4.8.2

$u$ について $2 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 8.4.8.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u = 1$

ステップ 8.4.8.2.2

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.4.8.2.2.1

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 8.4.8.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.4.8.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.8.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 8.4.8.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 8.4.9

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 8.4.9.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 8.4.9.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 8.4.10

最終解は $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 8.4.11

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 8.4.12

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

ステップ 8.4.13

$\cos (x) = \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.4.13.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 8.4.13.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.4.13.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 8.4.13.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 8.4.13.4

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 8.4.13.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 8.4.13.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 8.4.13.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 8.4.13.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 8.4.13.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.4.13.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 8.4.13.4.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 8.4.13.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.13.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.4.13.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.4.13.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.4.13.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 8.4.13.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.4.14

$\cos (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.4.14.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 8.4.14.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.4.14.2.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 8.4.14.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 8.4.14.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 8.4.14.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.14.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.4.14.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.4.14.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.4.14.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 8.4.14.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.4.15

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.4.16

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = π$ を通る線と平行です。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = π$ を通る線と平行です。

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例