微分積分例

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.1.2

$n = \frac{4}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.5.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.6

$\frac{4}{3}$ と ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.7

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.1.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + 0)$

ステップ 1.1.10

式を簡約します。

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ステップ 1.1.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

ステップ 1.1.10.2

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ です。

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.2.2

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$

ステップ 2.3.2

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

${((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$0^{\frac{4}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

${(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0^{3 (\frac{4}{3})}$

ステップ 4.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$0^{3 (\frac{4}{3})}$

ステップ 4.1.2.2.2

式を書き換えます。

$0^{4}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(1, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例