微分積分例

$y = 3 x^{2} \ln (x)$ , $y = 12 \ln (x)$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$x^{2} \ln (x^{3}) = \ln (x^{12})$

ステップ 1.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = 1, 2$

ステップ 1.3

$x = 1$ のとき、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = \ln ({(1)}^{12})$

ステップ 1.3.2

$y = \ln ({(1)}^{12})$ の $1$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = \ln (1^{12})$

ステップ 1.3.2.2

括弧を削除します。

$y = \ln ({(1)}^{12})$

ステップ 1.3.2.3

$\ln ({(1)}^{12})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \ln (1)$

ステップ 1.3.2.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$y = 0$

ステップ 1.4

$x = 2$ のとき、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2$ を $x$ に代入します。

$y = \ln ({(2)}^{12})$

ステップ 1.4.2

$y = \ln ({(2)}^{12})$ の $2$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

括弧を削除します。

$y = \ln (2^{12})$

ステップ 1.4.2.2

括弧を削除します。

$y = \ln ({(2)}^{12})$

ステップ 1.4.2.3

$2$ を $12$ 乗します。

$y = \ln (4096)$

ステップ 1.5

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{1}^{2} \ln (x^{12}) d x - \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x^{3}) d x$

ステップ 3

積分し、 $1$ と $2$ の間の面積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - (x^{2} \ln (x^{3})) d x$

ステップ 3.2

括弧を削除します。

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3}) d x$

ステップ 3.3

$\ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3})$ を $12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x))$ に書き換えます。

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

ステップ 3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

ステップ 3.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 3.6

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$12 \int_{1}^{2} \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 3.7

$u = \ln (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x \frac{1}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 3.8.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

共通因数を約分します。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 3.8.2.2

式を書き換えます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 3.9

定数の法則を当てはめます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 3.10

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 3.11

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.12.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.12.3

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.12.4

$\frac{x^{3}}{3}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

ステップ 3.12.5

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.5.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

ステップ 3.12.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.5.2.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

ステップ 3.12.5.2.2

共通因数を約分します。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

ステップ 3.12.5.2.3

式を書き換えます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{3} d x)$

ステップ 3.13

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{2} x^{2} d x))$

ステップ 3.14

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

ステップ 3.15

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.15.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.15.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

ステップ 3.15.1.2

$\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

ステップ 3.15.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.15.2.1

$2$ および $1$ で $\ln (x) x$ の値を求めます。

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

ステップ 3.15.2.2

$2$ および $1$ で $x$ の値を求めます。

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

ステップ 3.15.2.3

$2$ および $1$ で $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

ステップ 3.15.2.4

$2$ および $1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.15.2.5.1

$2$ を $\ln (2)$ の左に移動させます。

$12 (2 \cdot \ln (2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.3

$2$ から $1$ を引きます。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1 \cdot 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.5

$2$ を $3$ 乗します。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{\ln (2) \cdot 8}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.6

$8$ を $\ln (2)$ の左に移動させます。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \cdot \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.7

1のすべての数の累乗は1です。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.8

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.9

$2$ を $3$ 乗します。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.10

1のすべての数の累乗は1です。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.11

公分母の分子をまとめます。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8 - 1}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.12

$8$ から $1$ を引きます。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{7}{3}}{3})$

ステップ 3.15.2.5.13

$\frac{\frac{7}{3}}{3}$ を積として書き換えます。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3}))$

ステップ 3.15.2.5.14

$\frac{7}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{3 \cdot 3})$

ステップ 3.15.2.5.15

$3$ に $3$ をかけます。

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

ステップ 3.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1.1.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$12 (2 \ln (2) - 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$12 (2 \ln (2) + 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.2

$2 \ln (2)$ と $0$ をたし算します。

$12 (2 \ln (2) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.3

分配則を当てはめます。

$12 (2 \ln (2)) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.4

$2$ に $12$ をかけます。

$24 \ln (2) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.5

$12$ に $- 1$ をかけます。

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.6

公分母の分子をまとめます。

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - \ln (1)}{3} + \frac{- 7}{9})$

ステップ 3.16.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1.7.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

ステップ 3.16.1.7.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) + 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

ステップ 3.16.1.8

$8 \ln (2)$ と $0$ をたし算します。

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} + \frac{- 7}{9})$

ステップ 3.16.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.10

分配則を当てはめます。

$24 \ln (2) - 12 - 3 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.11

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1.11.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$24 \ln (2) - 12 + 3 (- 1) \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.11.2

共通因数を約分します。

$24 \ln (2) - 12 + 3 \cdot - 1 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.11.3

式を書き換えます。

$24 \ln (2) - 12 - (8 \ln (2)) - 3 (- \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.12

$8$ に $- 1$ をかけます。

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (- \frac{7}{9})$

ステップ 3.16.1.13

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1.13.1

$- \frac{7}{9}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (\frac{- 7}{9})$

ステップ 3.16.1.13.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 (- 1) \frac{- 7}{9}$

ステップ 3.16.1.13.3

$3$ を $9$ で因数分解します。

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.16.1.13.4

共通因数を約分します。

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.16.1.13.5

式を書き換えます。

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - \frac{- 7}{3}$

ステップ 3.16.1.14

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1.14.1

分数の前に負数を移動させます。

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - - \frac{7}{3}$

ステップ 3.16.1.14.2

$- - \frac{7}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1.14.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 1 (\frac{7}{3})$

ステップ 3.16.1.14.2.2

$\frac{7}{3}$ に $1$ をかけます。

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + \frac{7}{3}$

ステップ 3.16.2

$24 \ln (2)$ から $8 \ln (2)$ を引きます。

$16 \ln (2) - 12 + \frac{7}{3}$

ステップ 3.16.3

$- 12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$16 \ln (2) - 12 \cdot \frac{3}{3} + \frac{7}{3}$

ステップ 3.16.4

$- 12$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3}{3} + \frac{7}{3}$

ステップ 3.16.5

公分母の分子をまとめます。

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3 + 7}{3}$

ステップ 3.16.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.6.1

$- 12$ に $3$ をかけます。

$16 \ln (2) + \frac{- 36 + 7}{3}$

ステップ 3.16.6.2

$- 36$ と $7$ をたし算します。

$16 \ln (2) + \frac{- 29}{3}$

ステップ 3.16.7

分数の前に負数を移動させます。

$16 \ln (2) - \frac{29}{3}$

ステップ 4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

対数の中の $16$ を移動させて $16 \ln (2)$ を簡約します。

$\ln (2^{16}) - \frac{29}{3}$

ステップ 4.2

$2$ を $16$ 乗します。

$\ln (65536) - \frac{29}{3}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例