微分積分例

$f (x) = e^{x} \sin (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

ステップ 2.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

ステップ 2.4

項をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$\cos (x) e^{x}$ と $e^{x} \cos (x)$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$\cos (x)$ と $e^{x}$ を並べ替えます。

$e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

ステップ 2.4.1.2

$e^{x} \cos (x)$ と $e^{x} \cos (x)$ をたし算します。

$e^{x} (- \sin (x)) + 2 e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

ステップ 2.4.2

$\sin (x)$ と $e^{x}$ を並べ替えます。

$2 e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

ステップ 2.4.3

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$2 e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

ステップ 2.4.4

$- e^{x} \sin (x)$ と $e^{x} \sin (x)$ をたし算します。

$2 e^{x} \cos (x) + 0$

ステップ 2.4.5

$2 e^{x} \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{x} \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

ステップ 3.2

$2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 3.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

ステップ 3.5.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

ステップ 3.5.3

項を並べ替えます。

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

ステップ 4

$x$ に関する $f (x)$ の三次導関数は $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ です。

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

微分積分 例

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