微分積分例

$f (x) = \sqrt{x}$ , $a = 9$

ステップ 1

$a$ で線形化を求めるために使用する関数を考えます。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

ステップ 2

$a = 9$ の値を線形化関数に代入します。

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

ステップ 3

$f (9)$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $9$ で置換えます。

$f (9) = \sqrt{9}$

ステップ 3.2

$\sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

$(\sqrt{9})$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$\sqrt{9}$

ステップ 3.2.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{3^{2}}$

ステップ 3.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$3$

ステップ 4

微分係数を求め、 $9$ で値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = \sqrt{x}$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 4.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 4.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 4.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 4.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.8

簡約します。

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ステップ 4.1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

式の変数 $x$ を $9$ で置換えます。

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 4.3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 4.3.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

ステップ 4.3.1.4

指数を求めます。

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 5

成分を線形化関数に代入し、 $a$ における線形化を求めます。

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} (x - 9)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

ステップ 6.1.2

$\frac{1}{6}$ と $x$ をまとめます。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

ステップ 6.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

ステップ 6.1.3.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

ステップ 6.1.3.3

共通因数を約分します。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

ステップ 6.1.3.4

式を書き換えます。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

ステップ 6.1.4

$\frac{1}{2}$ と $- 3$ をまとめます。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 6.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

ステップ 6.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$L (x) = \frac{x}{6} + 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 6.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 6.4

公分母の分子をまとめます。

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

ステップ 6.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{6 - 3}{2}$

ステップ 6.5.2

$6$ から $3$ を引きます。

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例