微分積分例

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$r^{2} \cos (2 θ)$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

ステップ 1.1.2

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

ステップ 1.1.2.2

並べ替えます。

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ステップ 1.1.2.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

ステップ 1.1.2.2.2

$- 1$ を $r^{2}$ の左に移動させます。

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

ステップ 1.1.3

$- 1 r^{2}$ を $- r^{2}$ に書き換えます。

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

ステップ 2

$\cos (θ) = \frac{x}{r}$ なので、 $\cos (θ)$ を $\frac{x}{r}$ で置き換えます。

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

ステップ 3

$r^{2} = x^{2} + y^{2}$ なので、 $r^{2}$ を $x^{2} + y^{2}$ で、 $r$ を $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ で置き換えます。

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4

標準形で書きます。

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ステップ 4.1

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1.1

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.2

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ をかけます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.1.1.1.3.1

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ をかけます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.3.2

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を $1$ 乗します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.3.3

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を $1$ 乗します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.3.6

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ を $x^{2} + y^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.1.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.3.6.5

簡約します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.1.1.4.1

積の法則を $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ に当てはめます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.4.2

積の法則を $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ に当てはめます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.5

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ を $x^{2} + y^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.1.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.5.4.2

式を書き換えます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.5.5

簡約します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.6

$x^{2} + y^{2}$ と ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1.6.1

$x^{2} + y^{2}$ を $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ で因数分解します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1.6.2.1

$x^{2} + y^{2}$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ で因数分解します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.6.2.3

式を書き換えます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.7

$2 x^{2} + 2 y^{2}$ に $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.8

$2$ を $2 x^{2} + 2 y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1.1.8.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.8.2

$2$ を $2 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.8.3

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.9

$x^{2} + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.9.2

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

ステップ 4.1.1.1.10

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

ステップ 4.1.1.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$x^{2} - y^{2} = 1$

ステップ 4.1.2

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

ステップ 4.1.3

$- y^{2} = 1 - x^{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1.3.1

$- y^{2} = 1 - x^{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 4.1.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 4.1.3.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 4.1.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.3.3.1.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 4.1.3.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

ステップ 4.1.3.3.1.3

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

ステップ 4.1.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

ステップ 4.1.5

$\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.5.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

ステップ 4.1.5.1.2

$- 1^{2}$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 4.1.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.1.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.1.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.1.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.2

多項式を標準形で書くために、簡約し、項を降順に並べます。

$y = a x^{2} + b x + c$

ステップ 4.3

標準形は $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ です。

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例