微分積分例

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\sin (x) \cos (x) + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.8

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 1.1.4.2

$- \sin^{2} (x)$ と $\cos^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 1.1.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.1.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.4.1

分配則を当てはめます。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.1.4.4.2

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.1.4.4.3

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.4.5

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.5.1

$\cos (x) (- \sin (x))$ と $\sin (x) \cos (x)$ について因数を並べ替えます。

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.4.5.2

$- \cos (x) \sin (x)$ と $\cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.4.5.3

$\cos (x) \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.4.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.6.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.6.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.4.6.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.4.6.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.4.6.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.4.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

ステップ 1.1.4.6.3

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.6.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

ステップ 1.1.4.6.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

ステップ 1.1.4.6.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

ステップ 1.1.4.6.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 1.1.4.7

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$f' (x) = \cos (2 x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\cos (2 x)$ です。

$\cos (2 x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\cos (2 x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\cos (2 x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (0)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.4

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 2.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.6.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.6.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.6.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 2.6.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.6.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 2.6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 2.6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 2.6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.6.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.7

$\cos (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.7.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.8

$\cos (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ です。

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = \cos (2 x)$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ です。

$(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ で置換えます。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1))$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

ステップ 5.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

ステップ 5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

ステップ 5.2.2.1.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

ステップ 5.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

ステップ 5.2.2.2.2

式を書き換えます。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot - 1)$

ステップ 5.2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ です。

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

ステップ 5.3

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ で微分係数は $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ で減少

ステップ 6

区間 $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ で置換えます。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1))$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

ステップ 6.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

ステップ 6.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

ステップ 6.2.2.1.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

ステップ 6.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

ステップ 6.2.2.2.2

式を書き換えます。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot 1)$

ステップ 6.2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ です。

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

ステップ 6.3

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ で微分係数は $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ です。これは正の値なので、関数は $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ で増加

$(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例