微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 3 x}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$8$ と $- 3 x$ を並べ替えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 x + 8}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

ステップ 1.2.2

首位係数が負である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $8 - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

ステップ 3.3

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

ステップ 3.4.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

ステップ 3.5

$0$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $9 x^{2} + 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

ステップ 3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]}$

ステップ 3.7.3

$2$ に $9$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + \frac{d}{d x} [11]}$

ステップ 3.8

$11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $11$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + 0}$

ステップ 3.9

$18 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$- 3$ と $18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{18 x}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ を $18 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{3 (6 x)}$

ステップ 4.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot - 1}{3 (6 x)}$

ステップ 4.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{6 x}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{6}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{x}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{- 1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1}{6} \cdot 0$

ステップ 6

$\frac{1}{6}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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